8 найти частные производные функции нескольких переменных. Частные производные первого, второго и третьего порядка: понятия и примеры решений. Задачи с показательными функциями и логарифмами

Калькулятор вычисляет производные всех элементарных функций, приводя подробное решение. Переменная дифференцирования определяется автоматически.

Производная функции — одно из важнейших понятий в математическом анализе. К появлению производной привели такие задачи, как, например, вычисление мгновенной скорости точки в момент времени , если известен путь в зависимоти от времени , задача о нахождении касательной к функции в точке.

Чаще всего производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует.

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда производной функции в точке называется предел, если он существует

Как вычислить производную функции?

Для того, чтобы научиться дифференцировать функции, нужно выучить и понять правила дифференцирования и научиться пользоваться таблицей производных .

Правила дифференцирования

Пусть и — произвольные дифференцируемые функции от вещественной переменной, — некоторая вещественная постоянная. Тогда

— правило дифференцирования произведения функций

— правило дифференцирования частного функций

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — дифференцирование функции с переменным показателем степени

— правило дифференцирования сложной функции

— правило дифференцирования степенной функции

Производная функции онлайн

Наш калькулятор быстро и точно вычислит производную любой функции онлайн. Программа не допустит ошибки при вычислениях производной и поможет избежать долгих и нудных расчётов. Онлайн калькулятор будет полезен и в том случае, когда есть необходимость проверить на правильность своё решение, и если оно неверно, быстро найти ошибку.

Определение. Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

Для практических примеров справедливо следующее равенство:

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверять правильность нахождения частных производных первого порядка.

Примеры.

а) Найти частные производные второго порядка функции

Решение.

1.Считаем переменную y

2. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «икс», т.е. найдем вторую производную по «икс»:

3.Считаем переменную х константой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:

4. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «игрек», т.е. найдем вторую производную по «игрек»:

5. Найдем смешанную производную «икс по игрек». Для этого первую производную по «икс» продифференцируем по «игрек».

5. Найдем смешанную производную «игрек по икс». Для этого первую производную по «игрек» продифференцируем по «икс».

б) Найти частные производные первого порядка функции Проверить, что Записать полный дифференциал первого порядка dz.

Решение.

1.Найдем частные производные первого порядка, применяя правила вычисления производной произведения, суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и табличные интегралы тригонометрических функций:

2. Найдем смешанные производные второго порядка:

3. Составим полный дифференциал первого порядка:

в) Показать, что данная функция удовлетворяет уравнению

Решение.

1.Найдем частную производную заданной функции по «икс»:

2. Умножим полученное выражение х 2 :

3. От полученной функции найдем частную производную по «икс»:

4. Найдем частную производную заданной функции по «игрек»:

5. Вычислим вторую производную по «игрек»:

6. Умножим полученную функцию на у 2 :

7. Вычтем из результата, полученного в п.5, результат п.6:

Что и требовалось показать.

Похожая информация:

1. V3: {{101}} 04.07.14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (общее решение)

Функции двух переменных, частные производные, дифференциалы и градиент

Тема 5. Функции двух переменных.

частные производные

Определение функции двух переменных, способы задания.

Частные производные.

Градиент функции одной переменной

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

1. Определение функции нескольких переменных, способы задания

Для функции двух переменных
областью определения является некоторое множество точек на плоскости
, а областью значений - промежуток на оси
.

Для наглядного представления функции двух перемен ных применяются линии уровня .

Пример . Для функции
построить график и линии уровня. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку
.

Графиком линейной функции является плоскость в пространстве.

Для функции график представляет собой плоскость, проходящую через точки
,
,
.

Линиями уровня функции являются параллельные прямые, уравнение которых
.

Для линейной функции двух переменных
линии уровня задаются уравнением
и представляют собой семейство параллельных прямых на плоскости.

4

График функции 0 1 2 Х

Линии уровня функции

Частные прои зводные функции двух переменных

Рассмотрим функцию
. Придадим переменной в точке
произвольное приращение
, оставляя значение переменной неизменным . Соответствующее приращение функции

называется частным приращением функции по переменной в точке
.

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной : .

Обозначение частной производной по : , ,
,
.

Частной производной функции по переменной называется конечный предел:

Обозначения: , ,
,
.

Для нахождения частной производной
по переменной используются правила дифференцирования функции одной переменной, считая переменную постоянной..

Аналогично, для нахождения частной производной по переменной постоянной считается переменная .

Пример . Для функции
найти частные производные
,
и вычислить их значения в точке
.

Частная производная функции
по переменной находится в предположении, что постоянна:

Найдем частную производную функции по , считая постоянной :

Вычислим значения частных производных при
,
:

;
.

Частными производными второго порядка функции нескольких переменных называются частные производные от частных производных первого порядка.

Запишем для функции частные производные 2-го порядка:

;
;

;
.

;
и т.д.

Если смешанные частные производные функции нескольких переменных непрерывны в некоторой точке
, то они равны между собой в этой точке. Значит, для функции двух переменных значения смешанных частных производных не зависят от порядка дифференцирования:

.

Пример. Для функции найти частные производные второго порядка
и
.

Решение

Смешанная частная производная находится последовательным дифференцированием сначала функции по (считая постоянным), затем дифференцированием производной
по (считая постоянным).

Производная находится дифференцированием сначала функции по , затем производной по .

Смешанные частные производные равны между собой:
.

3. Градиент функции двух переменных

Свойства градиента

Пример . Дана функция
. Найти градиент
в точке
и построить его.

Решение

Найдем координаты градиента – частные производные.

В точке
градиент равен . Начало вектора
в точке , а конец - в точке .

5

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой ограниченной области

Постановка задачи. Пусть на плоскости замкнутая ограниченная область
задается системой неравенств вида
. Требуется найти в области точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.

Важной является задача нахождения экстремума , математическая модель которой содержит линейные ограничения (уравнения, неравенства) и линейную функцию
.

Постановка задачи. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
(2.1)

при ограничениях

(2.2)

. (2.3)

Поскольку для линейной функции многих переменных нет критических точек внутри области
, то оптимальное решение, доставляющее целевой функции экстремум, достигается только на границе области . Для области, заданной линейными ограничениями, точками возможного экстремума являются угловые точки . Это позволяет рассматривать решение задачи графическим методом .

Графическое решение системы линейных неравенств

Для графического решения данной задачи необходимо уметь решать графически системы линейных неравенств с двумя переменными.

Порядок действий:

Отметим, что неравенство
определяет правую координатную полуплоскость (от оси
), а неравенство
- верхнюю координатную полуплоскость (от оси
).

Пример. Решить графически неравенство
.

Запишем уравнение граничной прямой
и построим ее по двум точкам, например,
и
. Прямая делит плоскость на две полуплоскости.

Координаты точки
удовлетворяют неравенству (
– верно), значит, и координаты всех точек полуплоскости, содержащей точку , удовлетворяют неравенству. Решением неравенства будут координаты точек полуплоскости, расположенной справа от граничной прямой , включая точки на границе. Искомая полуплоскость на рисунке выделена.

Решение
системы неравенств называется допустимым , если его координаты неотрицательны , . Множество допустимых решений системы неравенств образует область, которая расположенав первой четверти координатной плоскости.

Пример. Построить область решений системы неравенств

Решениями неравенств является:

1)
- полуплоскость, расположенная левее и ниже относительно прямой ()
;

2)
– полуплоскость, расположенная в правой-нижней полуплоскости относительно прямой ()
;

3)
- полуплоскость, расположенная правее прямой ()
;

4) - полуплоскость выше оси абсцисс, то есть прямой ()
.

0

Область допустимых решений данной системы линейных неравенств – это множество точек, расположенных внутри и на границе четырехугольника
, являющегося пересечением четырех полуплоскостей.

Геометрическое изображение линейной функции

(линии уровня и градиент)

Зафиксируем значение
, получим уравнение
, которое геометрически задает прямую. В каждой точке прямой функция принимает значение и является линией уровня. Придавая различные значения, например,

, ... , получим множество линий уровня - совокупность параллельных прямых .

Построим градиент - вектор
, координаты которого равны значениям коэффициентов при переменных в функции
. Данный вектор: 1) перпендикулярен каждой прямой (линии уровня)
; 2) показывает направление возрастания целевой функции.

Пример . Построить линии уровня и градиент функции
.

Линии уровня при , , - это прямые

,
,

, параллельные друг другу . Градиент – это вектор , перпендикулярный каждой линии уровня.

Графическое нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции в области

Геометрическая постановка задачи. Найти в области решений системы линейных неравенств точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению линейной функции с двумя переменными.

Последовательность действий:

4. Найти координаты точки А, решая систему уравнений прямых, пересекающихся в точке А, и вычислить наименьшее значение функции
. Аналогично - для точки В и наибольшего значения функции
. построена по точкам.переменных Частные производные функции нескольких переменных и техника дифференцирования. Экстремум функции двух переменных и его необходимое...

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Продолжаем всеми любимую тему математического анализа – производные. В данной статье мы научимся находить частные производные функции трёх переменных : первые производные и вторые производные. Что необходимо знать и уметь для освоения материала? Не поверите, но, во-первых, нужно уметь находить «обычные» производные функции одной переменной – на высоком или хотя бы среднем уровне. Если с ними совсем туго, то начните с урока Как найти производную? Во-вторых, очень важно прочитать статью и осмыслить-прорешать если не все, то бОльшую часть примеров. Если это уже сделано, то уверенной походкой идём со мной, будет интересно, даже удовольствие получите!

Методы и принципы нахождения частных производных функции трёх переменных на самом деле очень похожи на частные производные функции двух переменных. Функция двух переменных, напоминаю, имеет вид , где «икс» и «игрек» – независимые переменные. Геометрически функция двух переменных представляет собой некоторую поверхность в нашем трёхмерном пространстве.

Функция трёх переменных имеет вид , при этом переменные называютсянезависимыми переменными или аргументами , переменная называется зависимой переменной или функцией . Например: – функция трёх переменных

А теперь немного о фантастических фильмах и инопланетянах. Часто можно услышать о четырехмерном, пятимерном, десятимерном и т.д. пространствах. Чушь или нет?
Ведь функция трёх переменных подразумевает тот факт, что все дела происходят в четырехмерном пространстве (действительно, переменных же четыре). График функции трёх переменных представляет собой так называемую гиперповерхность . Представить её невозможно, поскольку мы живём в трехмерном пространстве (длина/ширина/высота). Чтобы вам со мной не было скучно, предлагаю викторину. Я задам несколько вопросов, а желающие могут попробовать на них ответить:

– Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?

– Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.

– Возможно ли путешествие в прошлое?

– Возможно ли путешествие в будущее?

– Существуют ли инопланетяне?

На любой вопрос можно выбрать один из четырёх ответов:
Да / Нет (наукой это запрещено) / Наукой это не запрещено / Не знаю

Кто правильно ответит на все вопросы, тот, скорее всего, обладает некоторой вещью;-)

Ответы на вопросы я постепенно буду выдавать по ходу урока, не пропускайте примеры!

Собственно, полетели. И сразу хорошая новость: для функции трёх переменных справедливы правила дифференцирования и таблица производных . Именно поэтому вам необходимо хорошо управляться с «обычными» производными функций одной переменной. Отличий совсем немного!

Пример 1

Решение: Нетрудно догадаться –для функции трёх переменных существуют три частных производных первого порядка, которые обозначаются следующим образом:

Или – частная производная по «икс»;
или – частная производная по «игрек»;
или – частная производная по «зет».

В ходу больше обозначение со штрихом, но составители сборников, методичек в условиях задач очень любят использовать как раз громоздкие обозначения – так что не теряйтесь! Возможно, не все знают, как правильно читать вслух эти «страшные дроби». Пример: следует читать следующим образом: «дэ у по дэ икс».

Начнём с производной по «икс»: . Когда мы находим частную производную по , то переменныеи считаются константами (постоянными числами). А производная любой константы, о, благодать, равна нулю:

Сразу обратите внимание на подстрочный индекс – никто вам не запрещает помечать, что являются константами. Так даже удобнее, начинающим рекомендую использовать именно такую запись, меньше риск запутаться.

(1) Используем свойства линейности производной, в частности, выносим все константы за знак производной. Обратите внимание, что во втором слагаемом константу выносить не нужно: так как «игрек» является константой, то – тоже константа. В слагаемом за знак производной вынесена «обычная» константа 8 и константа «зет».

(2) Находим простейшие производные, не забывая при этом, что – константы. Далее причесываем ответ.

Частная производная . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменныеи считаются константами:

(1) Используем свойства линейности. И снова заметьте, что слагаемые , являются константами, а значит, за знак производной выносить ничего не нужно.

(2) Находим производные, не забывая, что константы. Далее упрощаем ответ.

И, наконец, частная производная . Когда мы находим частную производную по «зет», то переменныеи считаются константами:

Общее правило очевидно и незатейливо: Когда мы находим частную производную по какой-либо независимой переменной, то две другие независимые переменные считаются константами.

При оформлении данных задач следует быть предельно внимательным, в частности, нельзя терять подстрочные индексы (которые указывают, по какой переменной проводится дифференцирование). Потеря индекса будет ГРУБЫМ НЕДОЧЁТОМ. Хммм…. забавно, если после такого устрашения я их сам где-нибудь их пропущу)

Пример 2

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотренные два примера достаточно просты и, решив несколько подобных задачек, даже чайник приноровится расправляться с ними устно.

Для разгрузки вернемся к первому вопросу викторины: Существует ли в мире четвертое, пятое и т.д. измерения в смысле обывательского понимания пространства (длина/ширина/высота)?

Верный ответ: Наукой это не запрещено . Вся фундаментальная математическая аксиоматика, теоремы, математический аппарат прекрасно и непротиворечиво работают в пространстве любой размерности. Не исключено, что где-нибудь во Вселенной существуют неподвластные нашему разуму гиперповерхности, например, четырёхмерная гиперповерхность, которая задается функцией трех переменных . А может быть гиперповерхности рядом с нами или даже мы находимся прямо в них, просто наше зрение, другие органы чувств, сознание способны на восприятие и осмысление только трёх измерений.

Вернемся к примерам. Да, если кто сильно загрузился викториной, ответы на следующие вопросы лучше прочитать после того, как научитесь находить частные производные функции трёх переменных, а то я вам по ходу статьи вынесу весь мозг =)

Помимо простейших Примеров 1,2 на практике встречаются задания, которые можно назвать небольшой головоломкой. Такие примеры, к моей досаде, выпали из поля зрения, когда я создавал урок Частные производные функции двух переменных . Навёрстываем упущенное:

Пример 3

Решение: вроде бы тут «всё просто», но первое впечатление обманчиво. При нахождении частных производных многие будут гадать на кофейной гуще и ошибаться.

Разберём пример последовательно, чётко и понятно.

Начнём с частной производной по «икс». Когда мы находим частную производную по «икс», то переменные считаются константами. Следовательно, показатель нашей функции – тоже константа. Для чайников рекомендую следующий приём решения: на черновике поменяйте константу на конкретное положительное целое число, например, на «пятерку». В результате получится функция одной переменной:
или ещё можно записать так:

Это степенная функция со сложным основанием (синусом). По :

Теперь вспоминаем, что , таким образом:

На чистовике, конечно, решение следует оформить так:

Находим частную производную по «игрек», считаются константами. Если «икс» константа, то – тоже константа. На черновике проделываем тот же трюк: заменим, например, на 3, «зет» – заменим той же «пятёркой». В результате снова получается функция одной переменной:

Это показательная функция со сложным показателем. По правилу дифференцирования сложной функции :

Теперь вспоминаем нашу замену:

Таким образом:

На чистовике, понятно, оформление должно выглядеть, благообразно:

И зеркальный случай с частной производной по «зет» ( – константы):

При определенном опыте проведенный анализ можно проводить мысленно.

Выполняем вторую часть задания – составим дифференциал первого порядка. Это очень просто, по аналогии с функцией двух переменных, дифференциал первого порядка записывается по формуле:

В данном случае:

И делов то. Отмечу, что в практических задачах полный дифференциал 1-го порядка функции трёх переменных требуют составить значительно реже, чем для функции двух переменных.

Забавный пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных и составить полный дифференциал первого порядка

Полное решение и ответ в конце урока. Если возникнут затруднения, используйте рассмотренный «чайниковский» алгоритм, он гарантированно должен помочь. И ещё полезный совет – не спешите . Такие примеры быстро не решаю даже я.

Отвлекаемся и разбираем второй вопрос: Можно ли построить четырехмерное, пятимерное и т.д. пространство в широком понимании этого слова? То есть, привести пример такого пространства в нашей жизни.

Верный ответ: Да . Причём, очень легко. Например, добавляем к длине/ширине/высоте четвёртое измерение – время. Популярное четырехмерное пространство-время и всем известная теория относительности, аккуратно украденная Эйнштейном у Лобачевского, Пуанкаре, Лоренца и Минковского. Тоже не все знают. За что у Эйнштейна Нобелевская премия? В научном мире был страшный скандал, и Нобелевский комитет сформулировал заслугу плагиатора примерно следующим образом: «За общий вклад в развитие физики». Так то оно. Бренд троечника Эйнштейна – чистая раскрутка и пиар.

К рассмотренному четырехмерному пространству легко добавить пятое измерение, например: атмосферное давление. И так далее, так далее, так далее, сколько зададите измерений в своей модели – столько и будет. В широком смысле слова мы живём в многомерном пространстве.

Разберём еще пару типовых задач:

Пример 5

Найти частные производные первого порядка в точке

Решение: Задание в такой формулировке часто встречается на практике и предполагает выполнение следующих двух действий:
– нужно найти частные производные первого порядка;
– нужно вычислить значения частных производных 1-го порядка в точке .

Решаем:

(1) Перед нами сложная функция, и на первом шаге следует взять производную от арктангенса. При этом мы, по сути, невозмутимо используем табличную формулу производной арктангенса . По правилу дифференцирования сложной функции результат необходимо домножить на производную внутренней функции (вложения): .

(2) Используем свойства линейности.

(3) И берём оставшиеся производные, не забывая, что – константы.

По условию задания необходимо найти значение найденной частной производной в точке . Подставим координаты точки в найденную производную:

Преимуществом данного задания является тот факт, что другие частные производные находятся по очень похожей схеме:

Как видите, шаблон решения практически такой же.

Вычислим значение найденной частной производной в точке :

И, наконец, производная по «зет»:

Готово. Решение можно было оформить и по другому: сначала найти все три частные производные, а потом вычислить их значения в точке . Но, мне кажется, приведенный способ удобнее – только нашли частную производную, и сразу, не отходя от кассы, вычислили её значение в точке.

Интересно отметить, что геометрически точка – вполне реальная точка нашего трехмерного пространства. Значения же функции , производных – уже четвертое измерение, и где оно геометрически находится, никто не знает. Как говорится, по Вселенной никто с рулеткой не ползал, не проверял.

Коль скоро снова философская тема пошла, рассмотрим третий вопрос: Возможно ли путешествие в прошлое?

Верный ответ: Нет . Путешествие в прошлое противоречит второму закону термодинамики о необратимости физических процессов (энтропии). Так что не ныряйте, пожалуйста, в бассейн без воды, событие можно открутить назад только в видеозаписи =) Народная мудрость не зря придумала противоположный житейский закон: «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Хотя, на самом деле грустная штука, время однонаправлено и необратимо, никто из нас завтра не помолодеет. А различные фантастические фильмы вроде «Терминатора» с научной точки зрения – полная чушь. Абсурд и с точки зрения философии – когда Следствие, вернувшись в прошлое, может уничтожить собственную же Причину. .

Интереснее с производной по «зет», хотя, всё равно почти то же самое:

(1) Выносим константы за знак производной.

(2) Здесь опять произведение двух функций, каждая из которых зависит от «живой» переменной «зет». В принципе, можно использовать формулу производной частного, но проще таки пойти другим путём – найти производную от произведения.

(3) Производная – это табличная производная. Во втором слагаемом – уже знакомая производная сложной функции.

Пример 9

Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как рациональнее находить ту или иную частную производную. Полное решение и ответ в конце урока.

Перед тем как перейти к заключительным примерам урока и рассмотреть частные производные второго порядка функции трёх переменных, всех еще раз взбодрю четвертым вопросом:

Возможно ли путешествие в будущее?

Верный ответ: Наукой это не запрещено . Парадоксально, но не существует математического, физического, химического или другого естественнонаучного закона, который бы запрещал путешествие в будущее! Кажется чушью? Но практически у каждого в жизни бывало предчувствие (причём, не подкрепленное никакими логическими доводами), что произойдет то или иное событие. И оно происходило! Откуда пришла информация? Из будущего? Таким образом, фантастические фильмы о путешествии в будущее, да и, к слову, предсказания всевозможных гадалок, экстрасенсов нельзя назвать таким уж бредом. По крайне мере, наука этого не опровергла. Всё возможно! Так, когда я учился в школе, то компакт диски и плоские мониторы из фильмов казались мне невероятной фантастикой.

Известная комедия «Иван Васильевич меняет профессию» – выдумка наполовину (как максимум). Никакой научный закон не запрещал Ивану Грозному оказаться в будущем, но невозможно, чтобы два перца оказались в прошлом и исполняли обязанности царя.