Что значит установить связь между векторами. Савельев И.В. Курс общей физики, том I. Смешанное произведение трех векторов

Пусть V n -мерное векторное пространство, в котором заданы два базиса: e 1 , e 2 , …, e n – старый базис, e " 1 , e " 2 , …, e " n – новый базис. У произвольного вектора a есть координаты в каждом из них:

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a n e n ;

a = a" 1 e " 1 + a" 2 e " 2 + … + a" n e " n .

Для того чтобы установить связь между столбцами координат вектора a в старом и новом базисах, надо разложить векторы нового базиса по векторам старого базиса:

e " 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + … + a n 1 e n ,

e " 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + … + a n 2 e n ,

………………………………..

e " n = a 1n e 1 + a 2n e 2 + … + a nn e n .

Определение 8.14. Матрицей перехода от старого базиса к новому базису называется матрица, составленная из координат векторов нового базиса относительно старого базиса, записанных в столбцы, т. е.

Столбцы матрицы T – это координаты базисных, а значит, линейно независимых, векторов, следовательно, эти столбцы линейно независимы. Матрица с линейно независимыми столбцами является невырожденной, ее определитель не равен нулю и для матрицы T существует обратная матрица T –1 .

Обозначим столбцы координат вектора a в старом и новом базисах, соответственно, как [a ] и [a ]". С помощью матрицы перехода устанавливается связь между [a ] и [a ]".

Теорема 8.10. Столбец координат вектора a в старом базисе равен произведению матрицы перехода на столбец координат вектора a в новом базисе, то есть [a ] = T [a ]".

Следствие . Столбец координат вектора a в новом базисе равен произведению матрицы, обратной матрице перехода, на столбец координат вектора a в старом базисе, то есть [a ]" = T –1 [a ].

Пример 8.8. Составить матрицу перехода от базиса e 1 , e 2 , к базису e " 1 , e " 2 , где e " 1 = 3e 1 + e 2 , e " 2 = 5e 1 + 2e 2 , и найти координаты вектора a = 2e " 1 – 4e " 2 в старом базисе.

Решение . Координатами новых базисных векторов относительно старого базиса являются строки (3, 1) и (5, 2), тогда матрица T примет вид . Так как [a ]" = , то [a ] = × = .

Пример 8.9. Даны два базиса e 1 , e 2 – старый базис, e " 1 , e " 2 – новый базис, причем e " 1 = 3e 1 + e 2 , e " 2 = 5e 1 + 2e 2 . Найти координаты вектора a = 2e 1 – e 2 в новом базисе.

Решение . 1 способ . По условию даны координаты вектора а в старом базисе: [a ] = . Найдем матрицу перехода от старого базиса e 1 , e 2 к новому базису e " 1 , e " 2 . Получим матрицу Т = для нее найдем обратную матрицу T –1 = . Тогда согласно следствию из теоремы 8.10 имеем [a ]" = T –1 [a ] = × = .

2 способ. Так как e " 1 , e " 2 базис, то вектор а раскладывается по базисным векторам следующим образом a = k 1 e " 1 – k 2 e " 2 . Найдем числа k 1 и k 2 – это и будут координаты вектора а в новом базисе.

a = k 1 e " 1 – k 2 e " 2 = k 1 (3e 1 + e 2) – k 2 (5e 1 + 2e 2) =

= e 1 (3k 1 + 5k 2) + e 2 (k 1 + 2k 2) = 2e 1 – e 2 .

Так как координаты одного и того же вектора в данном базисе определяется однозначно, то имеем систему: Решая данную систему, получим k 1 = 9 и k 2 = –5, т. о. [a ]" = .

Найдем связь между векторами j (вектор плотности тока) и Е (напряженность поля) в одной и той же точке проводника. Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора Е, то направления j и Е совпадают. Напряжение, приложенное концам проводника, равно Edl, а его сопротивление. Ток I это суммарный ток через S - площадь поперечного сечения проводника. Тогда ток dI ток через элементарную площадку dS. Подставив эти выражения в формулу. Запишем. .

Слайд 12 из презентации «Сопротивление проводника» к урокам физики на тему «Сопротивление»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке физики, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Скачать всю презентацию «Сопротивление.ppt» можно в zip-архиве размером 66 КБ.

Скачать презентацию

Сопротивление

«Наука физика» - Физика, как наука. Физика возникла еще во времена древних греков в V веке до н.э. Звуковые явления. Вещество. Материя. Электрические явления. Физические явления. Философия. Электрические явления - это взаимодействие электрических зарядов, сверкание молнии. Молекула воды. Связи физики настолько многообразны, что порой люди не видят их.

«Абрам Фёдорович Иоффе» - Иоффе на семинаре по физике полупроводников. Физико-технический институт. Физико-технический институт. Политехнический институт. Шокли и Иоффе. Здание Мюнхенского университета. Иоффе на строительстве циклотрона ФТИ. Одна из последних фотографий Иоффе. Капицы в Кембридже. Фото Капицы. А.Иоффе и его земляк С.Тимошенко - студенты петербургских институтов.

«История электричества» - XXI век - электрическая энергия окончательно стала неотъемлемой частью жизни. XIX век - Фарадей открывает электромагнитную индукцию и законы электролиза. Известно, что если некоторые вещества потереть о шерсть, они притягивают лёгкие предметы. XIX век - Максвелл формулирует свои уравнения. Работы Джоуля, Ленца, Ома по изучению электрического тока.

«Магнитная индукция» - Сила Ампера. Основные свойства магнитного поля. Взаимодействия между проводниками с током называют магнитными. Направление силы Ампера можно определить с помощью правила левой руки. Магнитное поле порождается электрическим током (движущимися зарядами). Магнитное поле существует реально независимо от нас, от наших знаний о нем.

«Рассеяние частиц» - Контраст в рассеянии рентгеновских лучей. Кошка Штурмана. Радиус инерции и константа поступательного трения. Радиус инерции однородной сферической частицы связан с ее радиусом r0. Радиус инерции и характеристическая вязкость. Вариация контраста методом H2O/D2O смесей. Плотность рассеяния растворителя.

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Определение 1

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В.

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Определение 2

Векторы называются перпендикулярными , если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Пример 1

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно - 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = - 9 3 · 6 = - 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Пример 2

Исходные данные: векторы a → = (2 , 0 , - 1) , b → = (1 , 2 , 3) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + (- 1) · 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70

  1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + (- 1) · 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = - 1 5 · 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Пример 3

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A (2 , - 1) , B (3 , 2) , C (7 , - 2) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = (7 - 2 , - 2 - (- 1)) = (5 , - 1) B C → = (7 - 3 , - 2 - 2) = (4 , - 4)

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 · 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В, будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,

что равносильно:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 · a → · b → · cos (a → , b →) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → · b →

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter


Top