Что значит установить связь между векторами. Савельев И.В. Курс общей физики, том I. Смешанное произведение трех векторов
Пусть V – n -мерное векторное пространство, в котором заданы два базиса: e 1 , e 2 , …, e n – старый базис, e " 1 , e " 2 , …, e " n – новый базис. У произвольного вектора a есть координаты в каждом из них:
a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + … + a n e n ;
a = a" 1 e " 1 + a" 2 e " 2 + … + a" n e " n .
Для того чтобы установить связь между столбцами координат вектора a в старом и новом базисах, надо разложить векторы нового базиса по векторам старого базиса:
e " 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 + … + a n 1 e n ,
e " 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + … + a n 2 e n ,
………………………………..
e " n = a 1n e 1 + a 2n e 2 + … + a nn e n .
Определение 8.14. Матрицей перехода от старого базиса к новому базису называется матрица, составленная из координат векторов нового базиса относительно старого базиса, записанных в столбцы, т. е.
Столбцы матрицы T – это координаты базисных, а значит, линейно независимых, векторов, следовательно, эти столбцы линейно независимы. Матрица с линейно независимыми столбцами является невырожденной, ее определитель не равен нулю и для матрицы T существует обратная матрица T –1 .
Обозначим столбцы координат вектора a в старом и новом базисах, соответственно, как [a ] и [a ]". С помощью матрицы перехода устанавливается связь между [a ] и [a ]".
Теорема 8.10. Столбец координат вектора a в старом базисе равен произведению матрицы перехода на столбец координат вектора a в новом базисе, то есть [a ] = T [a ]".
Следствие . Столбец координат вектора a в новом базисе равен произведению матрицы, обратной матрице перехода, на столбец координат вектора a в старом базисе, то есть [a ]" = T –1 [a ].
Пример 8.8. Составить матрицу перехода от базиса e 1 , e 2 , к базису e " 1 , e " 2 , где e " 1 = 3e 1 + e 2 , e " 2 = 5e 1 + 2e 2 , и найти координаты вектора a = 2e " 1 – 4e " 2 в старом базисе.
Решение . Координатами новых базисных векторов относительно старого базиса являются строки (3, 1) и (5, 2), тогда матрица T примет вид . Так как [a ]" = , то [a ] = × = .
Пример 8.9. Даны два базиса e 1 , e 2 – старый базис, e " 1 , e " 2 – новый базис, причем e " 1 = 3e 1 + e 2 , e " 2 = 5e 1 + 2e 2 . Найти координаты вектора a = 2e 1 – e 2 в новом базисе.
Решение . 1 способ . По условию даны координаты вектора а в старом базисе: [a ] = . Найдем матрицу перехода от старого базиса e 1 , e 2 к новому базису e " 1 , e " 2 . Получим матрицу Т = для нее найдем обратную матрицу T –1 = . Тогда согласно следствию из теоремы 8.10 имеем [a ]" = T –1 [a ] = × = .
2 способ. Так как e " 1 , e " 2 базис, то вектор а раскладывается по базисным векторам следующим образом a = k 1 e " 1 – k 2 e " 2 . Найдем числа k 1 и k 2 – это и будут координаты вектора а в новом базисе.
a = k 1 e " 1 – k 2 e " 2 = k 1 (3e 1 + e 2) – k 2 (5e 1 + 2e 2) =
= e 1 (3k 1 + 5k 2) + e 2 (k 1 + 2k 2) = 2e 1 – e 2 .
Так как координаты одного и того же вектора в данном базисе определяется однозначно, то имеем систему: Решая данную систему, получим k 1 = 9 и k 2 = –5, т. о. [a ]" = .
Найдем связь между векторами j (вектор плотности тока) и Е (напряженность поля) в одной и той же точке проводника. Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке движутся в направлении вектора Е, то направления j и Е совпадают. Напряжение, приложенное концам проводника, равно Edl, а его сопротивление. Ток I это суммарный ток через S - площадь поперечного сечения проводника. Тогда ток dI ток через элементарную площадку dS. Подставив эти выражения в формулу. Запишем. .
Слайд 12 из презентации «Сопротивление проводника» к урокам физики на тему «Сопротивление»Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке физики, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Скачать всю презентацию «Сопротивление.ppt» можно в zip-архиве размером 66 КБ.
Скачать презентациюСопротивление
«Наука физика» - Физика, как наука. Физика возникла еще во времена древних греков в V веке до н.э. Звуковые явления. Вещество. Материя. Электрические явления. Физические явления. Философия. Электрические явления - это взаимодействие электрических зарядов, сверкание молнии. Молекула воды. Связи физики настолько многообразны, что порой люди не видят их.
«Абрам Фёдорович Иоффе» - Иоффе на семинаре по физике полупроводников. Физико-технический институт. Физико-технический институт. Политехнический институт. Шокли и Иоффе. Здание Мюнхенского университета. Иоффе на строительстве циклотрона ФТИ. Одна из последних фотографий Иоффе. Капицы в Кембридже. Фото Капицы. А.Иоффе и его земляк С.Тимошенко - студенты петербургских институтов.
«История электричества» - XXI век - электрическая энергия окончательно стала неотъемлемой частью жизни. XIX век - Фарадей открывает электромагнитную индукцию и законы электролиза. Известно, что если некоторые вещества потереть о шерсть, они притягивают лёгкие предметы. XIX век - Максвелл формулирует свои уравнения. Работы Джоуля, Ленца, Ома по изучению электрического тока.
«Магнитная индукция» - Сила Ампера. Основные свойства магнитного поля. Взаимодействия между проводниками с током называют магнитными. Направление силы Ампера можно определить с помощью правила левой руки. Магнитное поле порождается электрическим током (движущимися зарядами). Магнитное поле существует реально независимо от нас, от наших знаний о нем.
«Рассеяние частиц» - Контраст в рассеянии рентгеновских лучей. Кошка Штурмана. Радиус инерции и константа поступательного трения. Радиус инерции однородной сферической частицы связан с ее радиусом r0. Радиус инерции и характеристическая вязкость. Вариация контраста методом H2O/D2O смесей. Плотность рассеяния растворителя.
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Определение 1
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В.
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Определение 2
Векторы называются перпендикулярными , если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Пример 1
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно - 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = - 9 3 · 6 = - 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Пример 2
Исходные данные: векторы a → = (2 , 0 , - 1) , b → = (1 , 2 , 3) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + (- 1) · 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + (- 1) · 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = - 1 5 · 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Пример 3
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A (2 , - 1) , B (3 , 2) , C (7 , - 2) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = (7 - 2 , - 2 - (- 1)) = (5 , - 1) B C → = (7 - 3 , - 2 - 2) = (4 , - 4)
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 · 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В, будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,
что равносильно:
b → - a → 2 = a → + b → - 2 · a → · b → · cos (a → , b →) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos (a → , b →) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → · b →
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter