Непрерывность функции двух переменных определение. Предел и непрерывность функции двух переменных. по дисциплине «Высшая математика»

Определение 25.7.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.

или .

Пример 25.3.

1) непрерывна в любой точке.

2)

Предел не существует при , т.е. (0,0) – точка разрыва.

Основные свойства непрерывных функций двух переменных

Определение 25.8.

Множество точек плоскости называется связным , если любые две точки этого множества можно соединить линией.

Определение 25.9.

Точка называется внутренней точкой множества , если существует, состоящая из точек данного множества.

Определение 25.10.

Связное, открытое множество (состоящее лишь из внутренних точек) называется открытой областью или просто область

(например, внутренность круга).

Определение 25.11.

Точка называется граничной точкой области, если в любой существуют точки, как ей принадлежащие, так и не принадлежащие. Множество всех граничных точек этой области называется границей области. Обозначение: .

Определение 25.12.

Множество точек, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью .

Определение 25.13.

Множество называется ограниченным , если существует круг, внутри которого оно содержится.

Замечание 4 . Замкнутая ограниченная область, в которой определена функция двух переменных, является аналогом отрезка для функции одной переменной.

1) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то.

2) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.

3) Непрерывная в области функция принимает все свои промежуточные значения, т.е. если

Частные производные

Пусть функция определена в окрестности точки. Зададим переменнойв точкеприращение, оставляянеизменным, т.е. перейдем к точке, принадлежащей области(области определения функции).

Определение 26.1.

называется частным приращением по переменной в точке

Определение 26.2.

Если существует предел , то он называется частной производной функции в точкепо переменной.

Обозначение: .

Аналогично определяется

Если рассматривать частную производную по переменной в любой точке области определения функциина области, то частные производные можно рассматривать как новые функции на области.

Таким образом, частная производная функции двух переменных по переменной есть обычная производная одной переменнойпри фиксированном значении.

Пример 26.1.

Найти частные производные функций: ,,.

.

Понятие дифференцируемости функции двух переменных

Определение 26.3.

Пусть определена функция , тогда

- полное приращение функции.

Определение 26.4.

Пусть функция определена в окрестности точки.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

где -константы,-бесконечно малые функции при .

Теорема 26.1.

Если функция дифференцируема в точке, то онанепрерывна в этой точке.

Доказательство.

Очевидно из (26.1): .

Теорема 26.2 (необходимое условие дифференцируемости ).

Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке частные производные, причем:

. (26.2)

Доказательство.

Пусть имеет место формула (26.1).

Положим ,

где при- бесконечно малая функция.

Разделив на , и переходя к пределу при, получим:

то есть частная производная по переменной существует и равна.

Второе равенство доказывается аналогично.

Замечание 1 . Из непрерывности не следует ее дифференцируемость!

Пример 26.2.

непрерывна в точке (0,0), но не существует.

Аналогочно, не существует частной производной по . Следовательно, функция не дифференцируема.

Замечание 2. Из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

Пример 26.3.

Функция имеет частные производные в точке (0,0),

но не является в этой точке непрерывной, следовательно –

не дифференцируема.

Теорема 26.3 (достаточное условие дифференцируемости ).

Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точкии эти производные непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в точке.

Следствие.

Если частные производные непрерывны, то функция непрерывна.

Определение 26.5.

Если функция дифференцируема в точке, то дифференциаломназывается линейная относительно приращений часть полного приращения этой функции в точке, т.е.

, или

Дифференциалами независимых переменных называются их приращения

Производная сложной функции двух переменных

Пусть – функция двух переменныхи каждая из них является функцией от переменной:.

Тогда – сложная функция переменной.

Теорема 26.4.

Если функции дифференцируемые в точке,

–дифференцируема в точке , то сложная функциятакже дифференцируема в точке. При этом:

(26.4)

Пример 26.4.

2)

.

Замечание 3.

Если и, то.

Градие́нт (от лат.gradiens , род. падеж gradientis - шагающий, растущий) - вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат,,называется векторная функция с компонентами

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если - функцияпеременных, то её градиентом называется-мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещениядаетполный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть измененияпри смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку- это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказываетсяковариантным вектором , то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного ), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря - для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение. Градиентом функции f(x) называется вектор

Δf(x) = df ,…, df

dx 1 dx n

указывающий направление наиболее быстрого возрастания функции, и, стало быть, ориентированный перпендикулярно линиям уровня.

Для линейной функции двух переменных линия уровня представляет собой прямую, перпендикулярную вектору с , который служит градиентом данной функции. Следовательно, если линия уровня определяется уравнением f(x)=c 1 x 1 + c 2 x 2 =const , то этот вектоp имеет вид

и указывает направление возрастания функции.

Таким образом, с геометрической точки зрения задача максимизации сводится к определению такой точки области D , через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему из возможных значений. Последнее означает, что для нахождения точки экстремума в задаче линейного программирования мы должны сначала построить линию уровня для некоторого произвольного значения целевой функции. Затем необходимо осуществлять ее параллельное передвижение (так, чтобы она оставалась перпендикулярной вектору с ) до тех пор, пока не достигнем такой точки области допустимых планов D , из которой смещение в направлении вектора с было бы невозможно. Такой метод решения получил название графического . Заметим, что решение задачи поиска минимума линейной функции осуществляется аналогично, с той лишь разницей, что движение по линиям уровня должно производиться в направлении, обратном градиенту целевой функции, т. е. по вектору (-с ).

На рис. 1.1 изображен некоторый частный случай, для которого решение ЗЛП достигается в угловой точке х* = (0, 6) области D . Нетрудно представить, что возможны и другие варианты. Они изображены на рис. 1.2.

Рисунок (а ) иллюстрирует ситуацию неограниченности целевой функции f(x)=cx на множестве D , т.е. сколько бы мы ни перемещались по линиям уровня в направлении вектора с , ее значение будет возрастать.

В случае, изображенном на рисунке (b ), линия уровня, соответствующая максимальному значению f(x), касается грани множества D , и, соответственно, все точки, лежащие на этой грани, являются оптимальными планами.

Во всех рассмотренных иллюстрациях допустимые планы ЗЛП представлялись в виде некоторого многогранного выпуклого множества на плоскости. Такое их представление в литературе получило название первой геометрической интерпретации задачи линейного программирования .

Докажем для примера (7).

Пусть (x k , y k ) → (х 0 , у 0) ((x k , y k ) ≠ (х 0 , у 0)); тогда

(9)

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (x k , y k ) стремится к (х 0 , у 0) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x , y ) ∙φ (x , y ) в точке (х 0 , у 0).

Теорема. если функция f (x , y ) имеет предел, не равный нулю в точке (х 0 , у 0), т.е.

то существует δ > 0 такое, что для всех х , у

< δ, (10)

она удовлетворяет неравенству

(12)

Поэтому для таких (x , y )

т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x , y ) следует

откуда при A > 0 и при

A < 0 (сохранение знака).

По определению функция f (x ) = f (x 1 , …, x n ) = A имеет предел в точке

, равный числу А , обозначаемый так:

(пишут еще f (x ) → A (x → x 0)), если она определена на некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к x 0 последовательность точек х k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x 0 .

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x 0 предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

(13)

для всех х , удовлетворяющих неравенствам

0 < |x – x 0 | < δ.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U (x 0 ) точки x 0 такая, что для всех х

U (x 0 ) , х ≠ x 0 , выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел f (x ) в x 0 , то А есть предел функции f (x 0 + h ) от h в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f , заданную во всех точках окрестности точки x 0 , кроме, быть может, точки x 0 ; пусть ω = (ω 1 , ..., ω п ) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x 0 + t ω (0 < t ) образуют выходящий из x 0 луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

(0 < t < δ ω)

от скалярной переменной t , где δ ω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t )

если он существует, естественно называть пределом f в точке x 0 по направлению вектора ω.

Будем писать

, если функция f определена в некоторой окрестности x 0 , за исключением, быть может, x 0 , и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что |f (x ) | >N , коль скоро 0 < |x – x 0 | < δ.

Можно говорить о пределе f , когда х → ∞:

(14)

Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х , для которых |x | > N , функция f определена и имеет место неравенство

.

Итак, предел функции f (x ) = f (x 1 , ..., х п) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f (M ) при М → М 0 , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М 0 и удовлетворяющих условию | ММ 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f (M ) – А | < ε.

Предел обозначают

В случае функции двух переменных

Теоремы о пределах. Если функции f 1 (M ) и f 2 (M ) при М → М 0 стремятся каждая к конечному пределу, то:

Пример 1. Найти предел функции:

Решение. Преобразуем предел следующим образом:

Пусть y = kx , тогда

Пример 2. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом

Тогда

Пример 3. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом

Тогда

Непрерывность функции нескольких переменных

По определению функция f (x , y ) непрерывна в точке (х 0 , у 0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х 0 , у 0) и если предел f (x , y ) в этой точке равен ее значению в ней:

(1)

Условие непрерывности т.е. функция f непрерывна в точке (х 0 , у 0), если непрерывна функция f (х 0 + Δх , у 0 + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f (x , y ) в точке (x , y ) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов

Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f (x , y )

и на этом языке определить непрерывность f в (x , y ) : функция f непрерывна в точке (x , y ) , если

(1"")

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х 0 , у 0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 , у 0) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x , y ) = с от переменных x , y . Она непрерывна по этим переменным, потому что

|f (x , y ) – f (х 0 , у 0) | = |с – с | = 0 0.

Следующими по сложности являются функции f (x , y ) = х и f (x , y ) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от (x , y ) , и при этом они непрерывны. Например, функция f (x , y ) = х приводит в соответствие каждой точке (x , y ) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке (x , y ) может быть доказана так.

Кафедра: Высшая математика

Реферат

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»

Тольятти, 2008

Введение

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u .

Если переменная является функцией от двух переменных х и у , то функциональную зависимость обозначают

z = f (x , y ).

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .

Так, для функции z = x 2 + 3xy

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :

u = F (x , y , z ).

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u , соответствующего данным значениям x , y иz .

Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz

при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,

при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u , то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t , определенной на множестве Е , и обозначается

u = f (x , y , z , …, t ).

Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) и обозначается f (М 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f (x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х , у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу , соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F (x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x , y ) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:

(1)

(пишут еще f (x , y ) →А при (x , y ) → (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

(2)

какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k , y k ).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f (x , y ) – A | < ε(3)

для всех (x , y ) , удовлетворяющих неравенствам

< δ. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω х , ω у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

(х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t )

образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t < δ)

от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t )

f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ),

если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x , y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что

и ):

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f (x , y ) | < ε, если

< δ).

из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид

).

Пример 2. Рассмотрим в R 2 функцию

(х 4 + у 2 ≠ 0).

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

при х → 0.

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2

и

Будем писать

, если функция f определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой точки (х 0 , у 0) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что

|f (x , y ) | > N ,

коль скоро 0 <

< δ.

Можно также говорить о пределе f , когда х , у → ∞:

(5)

Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке (или при и ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние, меньшее чем , выполняется неравенство

Обозначается предел .

Определение 2. Функция
называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и .

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва.

На функции нескольких переменных переносятся все свойства и методы теории пределов функции одной переменной.

2)Случайная величина - одно из основных понятий теории вероятностей. Случайная величина - этоизмеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве

Дискретной называется случайная величина, которая при испытаниях может принимать одно из изолированных значений, количество которых конечно. К ним относятся величины из первой группы.
Непрерывной называют случайную величину, которая в пределах ее изменения может принимать любые значения, которые могут быть конечными или бесконечными. К ним относятся величины из второй группы.

Билет №6

1)Возведение в степень - бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называетсястепенью с основанием и показателем .

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого

Формула названа по имени установившего её в 1707 году математика И. Муавра, друга великого И. Ньютона; современный вид формуле придал Л. Эйлер.

Доказательство [править]

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и тождества для экспонент , где b - целое число.

Применение [править]

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n -ой степени из ненулевого комплексного числа:

где k = 0, 1, …, n -1.

Вероятность гипотез

Вероятность гипотез.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,?Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А)

Формула Байеса :

,

Априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

Вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

Вероятность наступления события B при истинности гипотезы A ;

Полная вероятность наступления события B .

Пример:

Пример расчёта

Пусть вероятность брака у первого рабочего , у второго рабочего - , а у третьего - . Первый изготовил деталей, второй - деталей, а третий - деталей. Начальник цеха берёт случайную деталь, и она оказывается бракованной. Спрашивается, с какой вероятностью эту деталь изготовил третий рабочий?

Cобытие - брак детали, событие - деталь произвёл рабочий . Тогда , где , а . По формуле полной вероятности

По формуле Байеса получим:

Билет №12

1. Тригонометрический ряд Фурье - представление произвольной функции с периодом в виде ряда

коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

где ao, a1,a2,...,b1,b2,.. - действительные константы, т.е.

2.Противоположные события.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели - противоположные события. Если А - попадание, то противоположное событие - промах.

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - противоположные

, очевидно, равна 10 / 21, что и утверждалось выше. [1 ]

Вычислим вероятность противоположного события А. Событие состоит в том, что выбранный номер не содержит ни одной из трех данных цифр. [2 ]

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. [3 ]

При этом вероятность противоположного события А будет больше, чем 1-а, то есть будет так же близка к единице, как вероятность события А близка к нулю

Билет №9

1. Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат - соответствующие им частоты n i . Точки (x i ; n i ) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h , а высоты равны отношению n i / h (плотность частоты).

2. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). Несколько событий А , В , С ,… называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей осуществления каждого из них в отдельности: Р (АВС …) = Р (А )Р (В )Р (С )…

Иногда соотношение Р (АВ ) = Р (А ) Р (В |A ) = P (B )P (A |B ), справедливое при P (A )P (B) > 0,называют также теоремой умножения вероятностей

Билет №11

1) Случайную величину Х называют непрерывной (непрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х функция распределения случайной величины F(x) равна:

.

При этом функция p(t) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Если такой функции p(t) не существует, то Х не является непрерывно распределенной случайной величиной.

Таким образом, зная плотность распределения, по формуле (6.7) можно легко найти функцию распределения F(x). И, наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения:

Свойства плотности распределения вероятностей

непрерывной случайной величины:

1. Плотность распределения – неотрицательная функция:

Геометрически это означает, что график плотности распределения расположен либо выше оси Ох, либо на этой оси.

Учитывая, что F(+¥)=1, получаем: =1. Т.е. площадь между графиком плотности распределения вероятностей и осью абсцисс равна единице.

Эти два свойства являются характеристическими для плотности распределения вероятностей. Доказывается и обратное утверждение:

Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.

Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Функция z = ƒ(х;у) (или ƒ(М)) называется непрерывной в точке М 0 (х 0 ;у 0), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел

в) этот предел равен значению функции z в точке Мо, т. е.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции.

71. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных. Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у - независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆хz. Итак, Δхz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: Δуz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у). Полное приращение Δz функции z определяется равенством Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у). Если существует предел , то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: Частные производные по х в точке обычно обозначают символами Аналогично определяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у: . Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

72. Применение дифференциала функции нескольких(двух) переменных к приближенным вычислениям. Полным дифференциалом функции нескольких переменных можно пользоваться для приближенных вычислений. Пусть дана дифференцируемая функция .Её полное приращение выражается формулой . Здесь стремиться к 0 быстрее чем, . Поэтому при малых ρ, т.е. при малых , слагаемые можно пренебречь и написать: , т.е. приращение функции можно приближенно заменить ее полным дифференциалом. Так как , то подставляем это выражение для в формулу (1.) получим: , оттуда .Формулой (2) можно пользоваться при приближении вычеслениях значений функции двух переменных в точке близкой к точке P(x;y), если известны значения функции и ее части производных в самой точке P(x;y).

73. Частные производные первого порядка. Определение.Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) к вызвавшему его приращению Δx при Δx 0 , то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М 0 и обозначается одним из символов: По определению, Частные производные по у и по z определяются аналогично: Производные f" x ; f" y ; f" z называются ещё и частными производными первого порядка функции f(x,y,z), или первыми частными производными. Так как частное приращение Δxf(M 0)получается лишь за счет приращения независимой переменной x при фиксированных значениях других независимых переменных, то частная производная f" x (M 0) может рассматриваться как производная функции f(x 0 ,y 0 ,z 0) одного переменного x. Следовательно, чтобы найти производную по x, нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную по x как от функции одного независимого переменного x. Аналогично вычисляются частные производные по другим независимым переменным. Если частные производные существуют в каждой точке области V, то они будут функциями тех же независимых переменных, что и сама функция.

74. Производная по направлению. Градиент. Пусть в некоторой области D задана функция и точка M(x,y,z). Проведем из точки M вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. . Будем предполагать, что функция u=u(x,y,z) и ее частные производные первого порядка непрерывны в области D. Предел отношения при называется производной от функции u=u(x,y,z)в точке M(x,y,z)по направлению вектора и обозначается , т.е. . Для нахождения производной от функцииu=u(x,y,z) в заданной точке по направлению вектора используют формулу: где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам: . Пусть в каждой точке некоторой области D задана функцияu=u(x,y,z) .Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции u=u(x,y,z) и обозначается или (читается «наблау»): . При этом говорят, что в области D определено векторное поле градиентов. Для нахождения градиента функции u=u(x,y,z) в заданной точке используют формулу: . Свойства градиента1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно . 2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u, равна нулю.

75. Экстремум функции нескольких переменных. Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.Пусть функция z = f(x;у) определена в некоторой области D, точка N(x 0 ;y 0 ) Î D. Точка (х 0 ;у 0 ) называется точкой максимума функции z = f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (х 0 ;у 0 ), что для каждой точки (х;у), отличной от (х 0 ;у 0), из этой окрестности выполняется неравенство f(х;у) (x 0 ;y 0). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х;у), отличных от (x 0 ;y 0), из δ-ξкрестности точки (x 0 ;y 0) выполняется неравенство: f(x;y) > f(x 0 ;y 0). На рисунке 6: N 1 - точка максимума, а N 2 - точка минимума функции z = f(x;y) .Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами. Необходимые условия экстремума: если функция z=f(x,y) имеет в точке M 0 (x 0 ,y 0) экстремум, то каждая частная производная первого порядка от z в этой точке или равна нулю , , или не существует. Точки, в которых частные производные и функции z=f(x,y) равны нулю или не существуют, называются критическими точками этой функции. Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (x 0 ;y 0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (x 0 ;y 0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

76. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Функция z=f(x,y) имеет условный минимум(максимум) во внутренней точке M 0 (x 0 ,y 0) , если для любых точек М(х,у) из некоторой окрестности О(М 0), удовлетворяющий уравнению связи ϕ(х,у)=0, выполняется условие ∆f(x 0 ,y 0)=f(x,y)-f(x 0 ,y 0)≥0, (∆f(x 0 ,y 0)≤0). В общем случае эта задача приводится к отысканию обычного экстремума Лагранжа L(x,y,λ)=f(x,y)=λϕ(x,y) с неизвестным множителем Лагранжа λ. Необходимое условие экстремума функции Лагранжа L(x,y,λ) представляет собой систему из трех уравнений с тремя неизвестными x,y,λ: . Достаточным условием для экстремума ф-ии Лагранжа заключается в следующем утверждении ∆>0, то ф-ия z=f(x,y) в точке M 0 (x 0 ,y 0) имеет условный минимум, ∆<0- то условный максимум.

77. Числовые ряды. Основные понятия. Сходимость ряда. Числовым рядом называется выражение вида, где u 1 ,u 2 ,….,u n ,… – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда , u n - общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда u n , выраженный как функция его номера n: u n =f(n).Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через S n , т.е. S n =u 1 +u 2 +…+u n . Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится .

78. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Теорема: Пусть числовой ряд u 1 +u 2 +…+u n +…, (1) сходиться, а S-его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u n стремиться к 0. Этот признак яв-ся необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, т.к. можно указать ряд, для которого выполняется равенство

На самом деле, если бы он сходился, то равнялся бы 0. Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы S n , сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд расходиться так как . Гармонический ряд - сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда: Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: {\displaystyle k}-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, - это основной тон, производимый струной длиной {\displaystyle {\frac {1}{k}}} от длины исходной струны.