Общая система исследования функции. Общий план исследования функций и построения графиков. Возрастание и убывание функции
Как исследовать функцию и построить её график?
Похоже, я начинаю понимать одухотворённо-проникновенный лик вождя мирового пролетариата, автора собрания сочинений в 55 томах…. Нескорый путь начался элементарными сведениями о функциях и графиках , и вот сейчас работа над трудоемкой темой заканчивается закономерным результатом – статьёй о полном исследовании функции . Долгожданное задание формулируется следующим образом:
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить её график
Или короче: исследовать функцию и построить график.
Зачем исследовать? В простых случаях нас не затруднит разобраться с элементарными функциями, начертить график, полученный с помощью элементарных геометрических преобразований и т.п. Однако свойства и графические изображения более сложных функций далеко не очевидны, именно поэтому и необходимо целое исследование.
Основные этапы решения сведены в справочном материале Схема исследования функции , это ваш путеводитель по разделу. Чайникам требуется пошаговое объяснение темы, некоторые читатели не знают с чего начать и как организовать исследование, а продвинутым студентам, возможно, будут интересны лишь некоторые моменты. Но кем бы вы ни были, уважаемый посетитель, предложенный конспект с указателями на различные уроки в кратчайший срок сориентирует и направит Вас в интересующем направлении. Роботы прослезились =) Руководство свёрстано в виде pdf-файла и заняло заслуженное место на странице Математические формулы и таблицы .
Исследование функции я привык разбивать на 5-6 пунктов:
6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.
На счёт заключительного действия, думаю, всем всё понятно – будет очень обидно, если в считанные секунды его перечеркнут и вернут задание на доработку. ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения! Он с большой вероятностью «прикроет» аналитические оплошности, в то время как некорректный и/или небрежный график доставит проблемы даже при идеально проведённом исследовании.
Следует отметить, что в других источниках количество пунктов исследования, порядок их выполнения и стиль оформления могут существенно отличаться от предложенной мной схемы, но в большинстве случаев её вполне достаточно. Простейшая версия задачи состоит всего из 2-3 этапов и формулируется примерно так: «исследовать функцию с помощью производной и построить график» либо «исследовать функцию с помощью 1-й и 2-й производной, построить график».
Естественно – если в вашей методичке подробно разобран другой алгоритм или ваш преподаватель строго требует придерживаться его лекций, то придётся внести некоторые коррективы в решение. Не сложнее, чем заменить вилку бензопилой ложкой.
Проверим функцию на чётность/нечётность:
После чего следует шаблонная отписка:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.
Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.
Нет и наклонных асимптот.
Примечание : напоминаю, что более высокого порядка роста , чем , поэтому итоговый предел равен именно «плюс бесконечности».
Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:
Иными словами, если идём вправо, то график уходит бесконечно далеко вверх, если влево – бесконечно далеко вниз. Да, здесь тоже два предела под единой записью. Если у вас возникли трудности с расшифровкой знаков , пожалуйста, посетите урок о бесконечно малых функциях
.
Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу . Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции : – тоже любое действительное число.
ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМ
Каждый этап задания приносит новую информацию о графике функции
, поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во-первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во-вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение:
Заметьте, что в силу непрерывности
функции на и того факта, что , график должен, по меньшей мере, один раз пересечь ось . А может быть точек пересечения несколько?
3) Нули функции и интервалы знакопостоянства.
Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Это просто. Необходимо вычислить значение функции при :
Полтора над уровнем моря.
Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз:
В конце притаился свободный член, который существенно затрудняет задачу.
Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. В худшей же сказке нас поджидают три поросёнка. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано
, но порча бумаги сопоставима чуть ли не со всем исследованием. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый
корень. Проверим, не являются ли оными числа :
– не подходит;
– есть!
Здесь повезло. В случае неудачи можно протестировать ещё и , а если и эти числа не подошли, то шансов на выгодное решение уравнения, боюсь, очень мало. Тогда пункт исследования лучше полностью пропустить – авось станет что-нибудь понятнее на завершающем шаге, когда будут пробиваться дополнительные точки. И если таки корень (корни) явно «нехорошие», то об интервалах знакопостоянства лучше вообще скромно умолчать да поаккуратнее выполнить чертёж.
Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен 
на без остатка:
Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы .
В итоге левая часть исходного уравнения 
раскладывается в произведение:
А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения
нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение 
имеет два действительных корня .
На числовой прямой отложим найденные значения 
и методом интервалов
определим знаки функции:
ог Таким образом, на интервалах 
график расположен
ниже оси абсцисс , а на интервалах 
– выше данной оси .
Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом:
Обратите внимание, что на интервале функция обязательно должна иметь хотя бы один максимум, а на интервале – хотя бы один минимум. Но сколько раз, где и когда будет «петлять» график, мы пока не знаем. К слову, функция может иметь и бесконечно много экстремумов
.
4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.
Найдём критические точки:
Данное уравнение имеет два действительных корня . Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
Следовательно, функция возрастает на 
и убывает на .
В точке функция достигает максимума: 
.
В точке функция достигает минимума: 
.
Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки:
Что и говорить, дифференциальное исчисление – штука мощная. Давайте окончательно разберёмся с формой графика:
5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдём критические точки второй производной:
Определим знаки :
График функции является выпуклым на и вогнутым на . Вычислим ординату точки перегиба: .
Практически всё прояснилось.
6) Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем:
Выполним чертёж:
Зелёным цветом отмечена точка перегиба, крестиками – дополнительные точки. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, которая всегда расположена строго посередине между максимумом и минимумом.
По ходу выполнения задания я привёл три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика.
Для самостоятельного решения:
Пример 2
Исследовать функцию и построить график.
Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока.
Немало секретов раскрывает исследование дробно-рациональных функций:
Пример 3
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график.
Решение : первый этап исследования не отличается чем-то примечательным, за исключением дырки в области определения:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения : .
, значит, данная функция не является четной или нечетной.
Очевидно, что функция непериодическая.
График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1-го пункта.
2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
а) С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота: 
Действительно, функции терпит бесконечный разрыв
в точке ,
а прямая (ось ) является вертикальной асимптотой
графика .
б) Проверим, существуют ли наклонные асимптоты:
Да, прямая является наклонной асимптотой графика , если .
Пределы анализировать смысла не имеет, поскольку и так понятно, что функция в обнимку со своей наклонной асимптотой не ограничена сверху и не ограничена снизу .
Второй пункт исследования принёс много важной информации о функции. Выполним черновой набросок:
Вывод №1 касается интервалов знакопостоянства. На «минус бесконечности» график функции однозначно расположен ниже оси абсцисс, а на «плюс бесконечности» – выше данной оси. Кроме того, односторонние пределы сообщили нам, что и слева и справа от точки функция тоже больше нуля. Обратите внимание, что в левой полуплоскости график, по меньшей мере, один раз обязан пересечь ось абсцисс. В правой полуплоскости нулей функции может и не быть.
Вывод №2 состоит в том, что функция возрастает на и слева от точки (идёт «снизу вверх»). Справа же от данной точки – функция убывает (идёт «сверху вниз»). У правой ветви графика непременно должен быть хотя бы один минимум. Слева экстремумы не гарантированы.
Вывод №3 даёт достоверную информацию о вогнутости графика в окрестности точки . О выпуклости/вогнутости на бесконечностях мы пока ничего сказать не можем, поскольку линия может прижиматься к своей асимптоте как сверху, так и снизу. Вообще говоря, есть аналитический способ выяснить это прямо сейчас, но форма графика «даром» прояснится на более поздних этапах.
Зачем столько слов? Чтобы контролировать последующие пункты исследования и не допустить ошибок! Дальнейшие выкладки не должны противоречить сделанным выводам.
3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.
График функции не пересекает ось .
Методом интервалов определим знаки :
, если ;
, если 
.
Результаты пункта полностью соответствуют Выводу №1. После каждого этапа смотрите на черновик, мысленно сверяйтесь с исследованием и дорисовывайте график функции.
В рассматриваемом примере числитель почленно делится на знаменатель, что очень выгодно для дифференцирования:
Собственно, это уже проделывалось при нахождении асимптот.
– критическая точка.
Определим знаки :
возрастает на 
и убывает на
В точке функция достигает минимума: 
.
Разночтений с Выводом №2 также не обнаружилось, и, вероятнее всего, мы на правильном пути.
Значит, график функции является вогнутым на всей области определения.
Отлично – и чертить ничего не надо.
Точки перегиба отсутствуют.
Вогнутость согласуется с Выводом №3, более того, указывает, что на бесконечности (и там и там) график функции расположен выше своей наклонной асимптоты.
6) Добросовестно приколотим задание дополнительными точками. Вот здесь придётся изрядно потрудиться, поскольку из исследования нам известны только две точки.
И картинка, которую, наверное, многие давно представили:
В ходе выполнения задания нужно тщательно следить за тем, чтобы не возникало противоречий между этапами исследования, но иногда ситуация бывает экстренной или даже отчаянно-тупиковой. Вот «не сходится» аналитика – и всё тут. В этом случае рекомендую аварийный приём: находим как можно больше точек, принадлежащих графику (сколько хватит терпения), и отмечаем их на координатной плоскости. Графический анализ найденных значений в большинстве случаев подскажет, где правда, а где ложь. Кроме того, график можно предварительно построить с помощью какой-нибудь программы, например, в том же Экселе (понятно, для этого нужны навыки).
Пример 4
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить её график.
Это пример для самостоятельного решения. В нём самоконтроль усиливается чётностью функции – график симметричен относительно оси , и если в вашем исследовании что-то противоречит данному факту, ищите ошибку.
Чётную или нечётную функцию можно исследовать только при , а потом пользоваться симметрией графика. Такое решение оптимально, однако выглядит, по моему мнению, весьма непривычно. Лично я рассматриваю всю числовую ось, но дополнительные точки нахожу всё же лишь справа:
Пример 5
Провести полное исследование функции и построить её график.
Решение : понеслась нелёгкая:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: .
Значит, данная функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.
Очевидно, что функция непериодическая.
2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют
Для функции, содержащей экспоненту, типично раздельное
исследование «плюс» и «минус бесконечности», однако нашу жизнь облегчает как раз симметрия графика – либо и слева и справа есть асимптота, либо её нет. Поэтому оба бесконечных предела можно оформить под единой записью. В ходе решения используем правило Лопиталя
:
Прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика при .
Обратите внимание, как я хитро избежал полного алгоритма нахождения наклонной асимптоты: предел вполне легален и проясняет поведение функции на бесконечности, а горизонтальная асимптота обнаружилась «как бы заодно».
Из непрерывности на и существования горизонтальной асимптоты следует тот факт, что функция ограничена сверху и ограничена снизу .
3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства.
Здесь тоже сокращаем решение:
График проходит через начало координат.
Других точек пересечения с координатными осями нет. Более того, интервалы знакопостоянства очевидны, и ось можно не чертить: , а значит, знак функции зависит только от «икса»:
, если ;
, если .
4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.
– критические точки.
Точки симметричны относительно нуля, как оно и должно быть.
Определим знаки производной:
Функция возрастает на интервале и убывает на интервалах 
В точке функция достигает максимума: 
.
В силу свойства 
(нечётности функции) минимум можно не вычислять:
Поскольку функция убывает на интервале , то, очевидно, на «минус бесконечности» график расположен под своей асимптотой. На интервале функция тоже убывает, но здесь всё наоборот – после перехода через точку максимума линия приближается к оси уже сверху.
Из вышесказанного также следует, что график функции является выпуклым на «минус бесконечности» и вогнутым на «плюс бесконечности».
После этого пункта исследования прорисовалась и область значений функции:
Если у вас возникло недопонимание каких-либо моментов, ещё раз призываю начертить в тетради координатные оси и с карандашом в руках заново проанализировать каждый вывод задания.
5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.
– критические точки.
Симметрия точек сохраняется, и, скорее всего, мы не ошибаемся.
Определим знаки :
График функции является выпуклым на 
и вогнутым на 
.
Выпуклость/вогнутость на крайних интервалах подтвердилась.
Во всех критических точках существуют перегибы графика. Найдём ординаты точек перегиба, при этом снова сократим количество вычислений, используя нечётность функции:
Провести полное исследование и построить график функции
y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.
1) Область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя.
1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.
Исключаем единственную точку x=1x=1 из области определения функции и получаем:
D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).
2) Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва. Найдем односторонние пределы:
Так как пределы равны бесконечности, точка x=1x=1 является разрывом второго рода, прямая x=1x=1 - вертикальная асимптота.
3) Определим точки пересечения графика функции с осями координат.
Найдем точки пересечения с осью ординат OyOy, для чего приравниваем x=0x=0:
Таким образом, точка пересечения с осью OyOy имеет координаты (0;8)(0;8).
Найдем точки пересечения с осью абсцисс OxOx, для чего положим y=0y=0:
Уравнение не имеет корней, поэтому точек пересечения с осью OxOx нет.
Заметим, что x2+8>0x2+8>0 для любых xx. Поэтому при x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) функция y>0y>0(принимает положительные значения, график находится выше оси абсцисс), при x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) функция y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).
4) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как:
5) Исследуем функцию на периодичность. Функция не является периодической, так как представляет собой дробно-рациональную функцию.
6) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность. Для этого найдем первую производную функции:
Приравняем первую производную к нулю и найдем стационарные точки (в которых y′=0y′=0):
Получили три критические точки: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Разобьем всю область определения функции на интервалы данными точками и определим знаки производной в каждом промежутке:
При x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) производная y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.
При x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) производная y′>0y′>0, функция возрастает на данных промежутках.
При этом x=−2x=−2 - точка локального минимума (функция убывает, а потом возрастает), x=4x=4 - точка локального максимума (функция возрастает, а потом убывает).
Найдем значения функции в этих точках:
Таким образом, точка минимума (−2;4)(−2;4), точка максимума (4;−8)(4;−8).
7) Исследуем функцию на перегибы и выпуклость. Найдем вторую производную функции:
Приравняем вторую производную к нулю:
Полученное уравнение не имеет корней, поэтому точек перегиба нет. При этом, когда x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) выполняется y′′>0y″>0, то есть функция вогнутая, когда x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) выполняется y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.
8) Исследуем поведение функции на бесконечности, то есть при .
Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Попробуем определить наклонные асимптоты вида y=kx+by=kx+b. Вычисляем значения k,bk,b по известным формулам:
Получили, у что функции есть одна наклонная асимптота y=−x−1y=−x−1.
9) Дополнительные точки. Вычислим значение функции в некоторых других точках, чтобы точнее построить график.
y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.
10) По полученным данным построим график, дополним его асимптотами x=1x=1(синий), y=−x−1y=−x−1 (зеленый) и отметим характерные точки (фиолетовым пересечение с осью ординат, оранжевым экстремумы, черным дополнительные точки):
Задание 4: Геометрические, Экономические задачи(не имею понятия какие, тут примерная подборка задач с решением и формулами) 
Пример 3.23. a
Решение.
x
и y
y
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При xa/4 S " > 0, а при x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Пример 3.24.
Решение.
R = 2, Н = 16/4 = 4.
Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение.
Так как f " (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.
Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение.
Обозначим стороны площадки через x
и y
. Площадь площадки равна S = xy. Пусть y
- это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a. Поэтому y = a - 2x и S = x(a - 2x), где
0 ≤ x ≤ a/2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2×a/4 =a/2. Поскольку x = a/4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При xa/4 S " > 0, а при x >a/4 S " < 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.
Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение.
Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = pR 2 Н Þ Н = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.
Похожая информация.
Одна из возможных схем исследования функции и построения се графика разлагается на следующие этапы решения задачи: 1. Область определения функции (О.О.Ф.). 2. Точки разрыва функции, их характер. Вертикальные асимптоты. 3. Четность, нечетность, периодичность функции. 4. Точки пересечения графика с осями координат. 5. Поведение функции на бесконечности. Горизонтальные и наклонные асимптоты. 6. Интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума. 7. Направления выпуклости кривой. Точки перегиба. 8. График функции. Пример 1. Построить график функции у = 1 . (верэиора или локон Марии Аньеэи). - вся числовая ось. 2. Точек разрыва нет; вертикальных асимптот нет. 3. Функция четная: , так что график ее симметричен относительно оси Оу\ непериодическая. Из четности функции следует, что достато^о построить ее график на полупрямой х ^ О, а затем зеркально отразить его в оси Оу. 4. При х = 0 имеем Ух, так что график функции лежит в верхней полуплоскости у > 0. Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных что график имеет горизонтальную асимптоту у = О, наклонных асимптот нет. Так то функция возрастает при и убывает, когда. Точка х = 0 - критическая. При переходе х через точку х = 0 производная у"(х) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, точка х = 0 - точка максимума, y(Q) = I. Результат этот достаточно очевиден: /(х) = T^IV*. Вторая производная обращается в нуль в точках х = . Исследуем точку х = 4- (далее соображение симметрии). При имеем. кривая выпукла вниз; при получаем (кривая выпукла вверх). Следовательно, точка х = = - - точка перегиба графика функции. Результаты исследования сведем в таблицу: Точка перегиба max Точка перегиба В таблице стрелка У» указывает на возрастание функции, стрелка «\» - на ее убывание. График функции изображен на рис. 33. Пример 2. Построить график функции (трезубец Ньютона). - вся числовая ось, исключая точку 2. Точка разрыва функции. Имеем так что прямая х = 0 - вертикальная асимптота. 3. Функция не является ни четной, ни нечетной [функция общего положения), непериодическая. Полагая получаем график функции пересекает ось Ох в точке (-1,0). наклонных и гори- зонтальных асимптот нет. откуда критическая точка. Вторая производная функции в точке, так что х = - точка минимума. Вторая производная обращается в ууль в точке и меняет свой знак при переходе через эту точку. Следовательно, точка - точка перегиба кривой. Для) имеем е. выпуклость кривой направлена вниз; для -I имеем. выпуклость кривой направлена вверх. Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Точка перегиба Не существует. Вертикальная асимптота торая производная обращается в нуль при х = е,/2. и при переходе х через эту точку у" меняет знак Следовательно, - абсцисса точки перегиба кривой. Результаты исследования сводим в таблицу: Точка перегиба. График функции изображен на рис. 37. Пример 4. Построить график функции вся числовая ось, исключая точку Точка точка разрыва 2-го рода функции. Так как Km . то прямая вертикальная асимптота графика функции. Функция общего положения, непериодическая. Полагая у = 0, имеем, откуда так что график функции пересекает ось Ох в точке Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту Из условия получаем - критическая точка. Вторая производная функции у" = Д > 0 всюду в области определения, в частности, в точке - точка минимума функции. 7. Поскольку, то всюду в области определения функции выпуклость ее графика направлена вниз. Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Не существует. х = 0 -вертикальная асимптота График функции изображен на рис. Пример 5. Построить график функции вся числовая ось. 2. Непрерывна всюду. Вертикальных асимптот нет. 3. Общего положения, непериодическая. 4. Функция обращается в нуль при 5. Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту Производная обращается в нуль в точке и не существует при. При переходе х через точку) производная не меняет знак, так что в точке х = 0 экстремума нет. При переходе точки х через точку производная) меняет знак с « + » на Значит в функция имеет максимум. При переходе х через точку х = 3 (х > I) производная у"(х) меняет знак т. е. в точсе х = 3 функция имеет минимум. 7. Находим вторую производную Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Вторая производная у"(х) не существует в точке х = 0 и при переходе х через точку х = 0 у" меняет знак с + на так что точка (0,0) кривой - точка перегиба с вертикальной касательной. В точке х = 3 перегиба графика нет. Всюду в полуплоскости х > 0 выпуклость кривой направлена вверх. Результаты исследования сводим в таблицу: Не существует Не существует Не существует Не существует Точка перегиба (0.0) с вертикальной касательной График функции представлен на рис. 39. §7. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Для отыскания точек максимума и минимума функций может быть использована формула Тейлора. Теорема It. Пусть функция /(х) в некоторой окрестности точки xq имеет производную п-го порядка, непрерывную в точке хо- Пусть 0. Тогда если число п - нечетное, то функция f{x) в точке х0 не имеет экстремума; когда же п - четное, то в точке х0 функция f(x) имеет максимум, если /(п)(х0) < 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, что в интервале, разность - /(х0) сохраняет знак. По формуле Тейлора как по условию, то из (1) получаем 1оусловию/(п*(г) непрерывна вточкего и Ф Поэтому в силуустойчивости нака непрерывной функции существует такое, что в интервале () не меняется и совпадает со знаком /(п)(хо). Рассмотрим возможные случаи: 1) п - четное число и / Тогда I потому в силу (2) . Согласно определению это означает, что точка го есть точка минимума функции /(г). 2) п - четное и. Тогда будем иметь i вместе с этим и Поэтому точка го будет в этом:лучае точкой максимума функции /(г). 3) п - нечетное число, /- Тогда при х > х0 знак >удет совпадать со знаком /(п)(го), а при г го будет противоположным. Поэтому 1ри сколь угодно малом 0 знак разности /(г) - /(го) не будет одним и тем же 1ля всех х е (го - 6, го + £). Следовательно, в этом случае функция /(г) в точке го жстремума не имеет. Пример. Рассмотрим функции Л Легко видеть, что точка х = 0 является критической точкой обеих функций. Для функции у = х4 первая из отличных от нуля производных в точке х = 0 есть производная 4-го порядка: Таким образом, здесь п = 4 - четное и. Следовательно, в точке х = 0 функция у = х4 имеет минимум. Для функции у = х} первая из отличных от нуля в точке х = 0 производных есть производная 3-го порядка. Так что в этом случае п = 3 - нечетное, и в точке х = 0 функция у = х3 экстремума не имеет. Замечание. С помошью формулы Тейлора можно доказать следующую теорему, выражающую достаточные условия точки перегиба. "еорема 12. Пусть функция /(г) в некоторой окрестности точки г0 имеет производп-го порядка, непрерывную в точке xq. Пусть, но /(п)(*о) Ф 0- Тогда, если п - нечетное число, то точка Мо(х0, f(xо)) есть точка перегиба графика функции у = f(x). Простейший пример доставляет функция. §8. Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Задача состоит в нахождении действительного корня уравнения Предположим, что выполнены следующие условия: 1) функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6]; 2) числа /(а) и f{b) противоположны по знаку: 3) на отрезке [а, 6] существуют производные f"(x) и f"(x), сохраняющие на этом отрезке постоянный знак. Из условий 1) и 2) в силу теоремы Больцано-Коши (с. 220) следует, что функция /(ж) обращается в нуль по крайней мере в одной точке £ € (а, Ь), т. е. уравнение (1) имеет по крайней мере один действительный корень £ в интервале (а, 6). Так как в силу условия 3) производная /"(х) на [а, Ь\ сохраняет постоянный знак, то f(x) монотонна на [а, Ь] и поэтому в интервале (а, Ь) уравнение (1) имеет только один действительный корень Рассмотрим метод вычисления приближенного значения этого единственного действительного корня £ € (а, 6) уравнения (I) с любой степенью точности. Возможны четыре случая (рис. 40): 1) Рис. 40 Возьмем для определенности случай, когда f\x) > 0, f"(x) > 0 на отрезке [а, 6) (рис.41). Соединим точки А(а, /(а)) и В(Ь, f(b)) хордой А В. Это отрезок прямой, проходящей через точки А и В, уравнение которой Точка aj, в которой хорда АВ пересекает ось Ох, расположена между аи(и является лучшим приближением к чем а. Полагая в (2) у = 0, найдем Из рис. 41 нетрудно заметить, что точка а\ будет всегда расположена с той стороны от в которой знаки f(x) и f"(x) противоположны. Проведем теперь касательную к кривой у = /(х) в точке B(b, f(b)), т. е. в том конце дуги ^АВ, в котором f(x) и /"(я) имеют один и тот же знак. Это существенное условие: без его соблюдения точка пересечения касательной с осью Ох может вовсе не давать приближение к искомому корню. Точка Ь\, в которой касательная пересекает ось Ох, расположена между £ и b с той же стороны, что и 6, и является лучшим приближением к чем Ь. Касательная эта определяется уравнением Полагая в (3) у = 0, найдем Ь\: Схема построения графика функции Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Таким образом, имеем Пусть абсолютная погрешность приближения С корня £ задана заранее. За абсолютную погрешность приближенных значений aj и 6, корня £ можно взять величину |6i - ai|. Если эта погрешность больше допустимой, то, принимая отрезок за исходный, найдем следующие приближения корня где. Продолжая этот процесс, получим две последовательности приближенных значений Последовательности {ап} и {bn} монотонные и ограниченные и, значит, имеют пределы. Пусть Можно показать, что если выполнены сформулированные выше условия 1 единственному корню уравнения / Пример. Найти корень (уравнения г2 - 1=0 на отрезке . Таким образом, выполнены все условия, обеспечивающие существование единственного корня (уравнения х2 - 1 = 0 на отрезке . и метод должен сработать. 8 нашем случае а = 0, b = 2. При п = I из (4) и (5) находим При п = 2 получаем что дает приближение к точному значению корня (с абсолютной погрешностью Упражнения Постройте графики функций: Найдите наибольшее и наименьшее значение функций на заданных отрезках: Исследуйте поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков: Ответы
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
Точки разрыва. (Если они имеются).
Интервалы возрастания и убывания.
Точки максимума и минимума.
Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
Области выпуклости и вогнутости.
Точки перегиба.(Если они имеются).
Асимптоты.(Если они имеются).
Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки .
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = -;x = ;x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
- < x < -,y < 0, кривая выпуклая
- 1 < x
< 0, y
> 0, кривая вогнутая 0 < x
< 1, y
< 0, кривая выпуклая 1 < x
<
,y
> 0, кривая вогнутая < x
< ,
y
> 0, кривая вогнутая Находим
промежутки возрастания
и убывания
функции. Для этого определяем знаки
производной функции на промежутках. -
< x
< -,y
> 0, функция возрастает - 1 < x
< 0, y
< 0, функция убывает 0 < x
< 1, y
< 0, функция убывает 1 < x
<
,y
< 0, функция убывает < x
< ,
y
> 0, функция возрастает Видно,
что точка х = -является точкоймаксимума
,
а точка х =
является точкойминимума
.
Значения функции в этих точках равны
соответственно 3/2
и -3/2. Про
вертикальные асимптоты
было уже сказано выше. Теперь найдем
наклонные
асимптоты
. Итого,
уравнение наклонной асимптоты – y
= x. Построим
график
функции: Ниже
рассмотрим несколько примеров исследования
методами дифференциального исчисления
различных типов функций. Пример:
Методами дифференциального исчисления 1. Областью
определения данной функции являются
все действительные числа (-;
). 3. Точки
пересечения с координатными осями: c
осью Оу: x
= 0; y
= 1; с осью Ох: y
= 0; x
= 1; 4. Точки
разрыва и асимптоты: Вертикальных
асимптот нет. Наклонные
асимптоты: общее уравнение y
= kx
+ b; Итого:
у = -х – наклонная асимптота. 5.
Возрастание и убывание функции, точки
экстремума. Видно, что у
0 при любом х
0, следовательно, функция убывает на
всей области определения и не имеет
экстремумов. В точке х = 0 первая производная
функции равна нулю, однако в этой точке
убывание не сменяется на возрастание,
следовательно, в точке х = 0 функция
скорее всего имеет перегиб. Для нахождения
точек перегиба, находим вторую производную
функции. y
= 0 при х =0 и y
=
при х = 1. Точки
(0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к.
y(1-h)
< 0; y(1+h)
>0; y(-h)
> 0; y(h)
< 0 для любого h
> 0. 6. Построим
график функции. Пример:
Исследовать функцию
и построить ее график. 1. Областью
определения функции являются все
значения х, кроме х = 0. 2. Функция
является функцией общего вида в смысле
четности и нечетности. 3. Точки
пересечения с координатными осями: c
осью Ох: y
= 0; x
=
с осью Оу: x
= 0; y
– не существует. 4. Точка
х = 0 является точкой разрыва
,
следовательно, прямая х = 0 является
вертикальной асимптотой. Наклонные
асимптоты ищем в виде: y
= kx
+ b. Наклонная
асимптота у = х. 5. Находим
точки экстремума функции. ;
y
= 0 при х = 2, у
=
при х = 0. y
> 0 при х
(-,
0) – функция возрастает, y
< 0 при х
(0, 2) – функция убывает, у
> 0 при х
(2, )
– функция возрастает. Таким
образом, точка (2, 3) является точкой
минимума. Для
определения характера выпуклости/вогнутости
функции находим вторую производную. > 0 при любом х
0, следовательно, функция вогнутая на
всей области определения. 6. Построим
график функции. Пример:
Исследовать функцию
и построить ее график. Областью
определения данной функции является
промежуток х
(-,
). В
смысле четности и нечетности функция
является функцией общего вида. Точки
пересечения с осями координат: с осью
Оу:
x = 0, y = 0; с
осью Ох: y
= 0, x
= 0, x
= 1. Асимптоты
кривой. Вертикальных
асимптот нет. Попробуем
найти наклонные асимптоты в виде y
= kx
+ b. Находим
точки экстремума. Для
нахождения критических точек следует
решить уравнение 4х 3
– 9х 2
+6х –1 = 0. Для
этого разложим данный многочлен третьей
степени на множители. Подбором
можно определить, что одним из корней
этого уравнения является число х = 1.
Тогда: 4x 3
– 9x 2
+ 6x
– 1 x
- 1
4x 3
– 4x 2
4x 2
– 5x
+ 1 Тогда
можно записать (х – 1)(4х 2
– 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две
критические точки: x
= 1 и x
= ¼. Примечание.
Операции деления многочленов можно
было избежать, если при нахождении
производной воспользоваться формулой
производной произведения: Найдем
вторую производную функции: 12x 2
– 18x
+ 6. Приравнивая к нулю, находим: Систематизируем
полученную информацию в таблице: вып. вниз возрастает вып. вниз возрастает вып.вверх возрастает вып. вниз Построим
график функции. Стоит задача: провести полное исследование функции и построить ее график .
Каждый студент прошел через подобные задачи.
Дальнейшее изложение предполагает хорошее знание . Рекомендуем обращаться к этому разделу при возникновении вопросов.
Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов.
Нахождение области определения функции.
Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения.
В нашем примере нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.
(В других примерах могут быть корни, логарифмы и т.п. Напомним, что в этих случаях область определения ищется следующим образом:
Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.
На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты
, если в этих граничных точках бесконечны.
В нашем примере граничными точками области определения являются .
Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы: Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые являются вертикальными асимптотами графика.
Исследование функции на четность или нечетность.
Функция является четной
, если . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.
Функция является нечетной
, если Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида.
В нашем примере выполняется равенство , следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси oy
.
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.
Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.
Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными
.
Критическими точками функции
называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.
ЗАМЕЧАНИЕ
(включать ли критические точки в промежутки возрастания и убывания).
Мы будем включать критические точки в промежутки возрастания и убывания, если они принадлежат области определения функции.
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции
Поехали!
Находим производную на области определения (при возникновении сложностей, смотрите раздел ). Находим критические точки, для этого:
Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Как вариант, можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим плюсик над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим минус и т.д. К примеру, Делаем вывод:
Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания.
Точками экстремума функции
являются точки, в которых функция определена и проходя через которые производная меняет знак.
В нашем примере точкой экстремума является точка х=0
. Значение функции в этой точке равно
Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.
Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств и соответственно.
Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость – выпуклостью вверх.
Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания.
Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции
:
- наклонных
асимптот не существует.
для корня четной степени, например, - область определения находится из неравенства ;
для логарифма - область определения находится из неравенства ).
. Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.
, следовательно, над первым слева интервалом ставим плюс.
. Так как производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку х=0
, то (0; 0)
является точкой локального максимума. (Если бы производная меняла знак с минуса на плюс, то мы имели бы точку локального минимума).
Поехали!
Находим вторую производную на области определения.
В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя .
Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка.
Делаем вывод:
Точка называется точкой перегиба , если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через .
Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.
В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки , а они не входят в область определения функции.
Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.
Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности.
Наклонные асимптоты
ищутся в виде прямых , где и 
.
Если k=0 и b не равно бесконечности, то наклонная асимптота станет горизонтальной .
Кто такие вообще эти асимптоты?
Это такие линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Таким образом, они очень помогают при построении графика функции.
Если горизонтальных или наклонных асимптот нет, но функция определена на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, то следует вычислить предел функции на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, чтобы иметь представление о поведении графика функции.
Для нашего примера
- горизонтальная асимптота.
На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.
Вычисляем значения функции в промежуточных точках.
Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции).
Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2
, х=-1
, х=-3/4
, х=-1/4
. В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2
, х=1
, х=3/4
, х=1/4.
Построение графика.
Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =).
Осталось провести линии графика через отмеченные точки, приближая к асимптотам и следуя стрелочкам.
Этим шедевром изобразительного искусства задача полного исследования функции и построения графика закончена.
Графики некоторых элементарных функций можно строить с использованием графиков основных элементарных функций.
