Определение прогиба балки методом начальных параметров. Упругая линия балки. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Упругая линия балки - ось балки после деформации.

Прогиб балки $y$ - поступательное перемещение центра тяжести в поперечном направлении балки. Прогиб вверх считаем положительным, вниз - ’ емким.

Уравнение упругой линии - математическая запись зависимости $y(x)$ (прогиба по длине балки).

Стрела прогиба $f = {y_{\max }}$ - максимальное по длине значение прогиба балки.

Угол поворота сечения $\varphi $ - угол, на который поворачивается сечение в процессе деформирования балки. Угол поворота считаем положительным, если сечение поворачивается против часовой стрелки, и наоборот.

Угол поворота сечения равен углу наклона упругой линии. Таким образом, функция изменения угла поворота по длине балки равна первой производной от функции прогибов $\varphi (x) = y"(x)$.

Таким образом, при изгибе рассматриваем два вида перемещений - прогиб и угол поворота сечения.

Цель определения перемещений

Перемещение в стержневых системах (в частности в балках) определяются для обеспечения условий жесткости (прогибы ограничиваются строительными нормами).

Кроме этого, определение перемещений необходимо для расчета прочности статически невыдающихся систем.

Дифференциальное уравнение упругой линии (изогнутой оси) балки

На данном этапе необходимо установить зависимость перемещений в балке от внешних нагрузок, способа закрепления, размеров балки и материала. Для полного решения задачи необходимо получить функцию прогибов $y(x)$ по всей длине балки. Вполне очевидно, что перемещения в балке зависят от деформаций каждого сечения. Ранее нами была получена зависимость кривизны сечения балки от изгибающего момента, действующего в этом сечении.

$\frac{1}{\rho } = \frac{M}{{EI}}$.

Кривизна линии определяется ее уравнением $y(x)$ так

$\frac{1}{\rho } = \frac{{y}}{{{{\left({1 + {{\left({y"} \right)}^2}} \right)}^{3/2}}}}$ ,

где $y"$ и $y$ - соответственно, первая и вторая производная от функции прогибов с координатой x .

С практической точки зрения эту запись можно упростить. На самом деле $y" = \varphi $ - угол поворота сечения в реальных конструкциях не может быть большим, как правило не больше 1град = 0,017рад . Тогда $1 + {\left({y"} \right)^2} = 1 + {0.017^2} = 1.000289 \approx 1$, то есть можно считать, что $\frac{1}{\rho } = y" = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}}$. Таким образом, мы получили уравнение упругой линии балки (дифференциальное уравнение изогнутой оси балки). Это уравнение впервые получено Эйлером.

$\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{M(x)}}{{EI}}.$

Получена дифференциальная зависимость показывает взаимосвязи между перемещениями и внутренними усилиями в балках. Учитывая дифференциальную зависимость между поперечной силой, изгибающим моментом и поперечной нагрузкой, покажем содержание производных от функции прогибов.

$y(x)$ - функция прогибов;

$y"(x) = \varphi (x)$ - функция углов поворота;

$EI \cdot y"(x) = M(x)$ - функция изменения изгибающего момента;

$EI \cdot y""(x) = M"(x) = Q(x)$ - функция изменения поперечной силы;

$EI \cdot {y^{IV}}(x) = M"(x) = q(x)$ - функция изменения поперечной нагрузки.

4. Изгиб. определение перемещений.

4.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и его интегрирование.

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y = y (x ) их центров тяжести сечений – прогибами балки.

Между прогибами y (x ) и углами поворота сечений θ (x ) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии (θ и φ - углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y / = tg θ . Следовательно, tg θ =tg φ =y / .

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h , а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ =y / .

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента M z и жесткости EI z (см. уравнение (8.8)):

Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для M z и y // были приняты независимо друг от друга, получаем

Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y , так как от этого направления зависит знак второй производной y // . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y // и M z совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y // и M z противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.

Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента M z содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (8.29), находим сначала углы поворота сечений

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при n участках дает 2 n произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.

8.9.1. Понятие о перемещениях балки. Дифференциальное уравнение упругой линии балки

Кроме расчетов на прочность для элементов конструкций выполняются расчеты на жесткость . Напомним, что под жесткостью подразумевается такие требования, при которых перемещения (деформации) элементов конструкций не должны превосходить допускаемы величин. Здесь под перемещением подразумевается прогиб балки 𝓌=𝓌(x ) в сечении с координатой х и углом поворота сечения (рис.8.33).

Рисунок 8.33 – Перемещения при изгибе балки

При малых прогибах угол поворота сечения равен углу между касательной к упругой линии в данной точке и осью балки :

Правило знаков для перемещений: прогиб положителен при перемещении вверх, т.е. в сторону положительной оси у ; угол поворота сечения положителен при повороте против часовой стрелки.

Между кривизной упругой линии балки и изгибающим моментом М=М(х) существует зависимость:

где – кривизна изогнутой оси балки, которая характеризует величину деформации при изгибе ( – радиус кривизны); – жесткость при изгибе балки.

Заметим, что при ρ>0 кривизна и линия функции 𝓌=𝓌(x ) обращена выпуклость вниз, т.е. в сторону положительного значения изгибающих моментов . Отсюда знак кривизны линии совпадает со знаком изгибающего момента.

Из математики известна зависимость между кривизной линии и ее функцией 𝓌 :

В пределах упругих деформаций материала балки величина 𝓌ʹ составляет тысячные доли радиана, следовательно, можно пренебречь значением (𝓌ʹ) 2 по сравнению с единицей, тогда = 𝓌ʹʹ. Подставляя сюда выражение (8.20), получим:

Зависимость (8.22) называется дифференциальным уравнением упругой линии балки . Оно связывает функцию прогиба 𝓌 с одной стороны с уравнением изгибающих моментов М по длине балки с другой стороны.

Интегрированием уравнения (8.22) можно получить величины перемещений при изгибе балки.

8.9.2. Вычисление перемещений путем интегрирования уравнения упругой линии балки

Пусть при поперечном изгибе балки известно аналитическое выражение (уравнение) для изгибающего момента М=М(х). Тогда двукратным интегрированием дифференциального уравнения упругой линии балки (8.22) можно найти выражения для углов поворота сечений по длине балки

где и – постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий.

Граничными условиями называются условия опирания балки на крайних опорах. Эти условия представляют собой равенство нулю на опорах прогибов или углов поворота сечений.

Так, для простейших случаев опирания балки на опорах (рис.8.34) граничными условиями будут:

а ) при шарнирном опирании балки по концам (рис.8.34, а ):

б ) при жесткой заделке балки по концам (рис.8.34, б ):

Рисунок 8.34 – Простейшие виды опирания балки на опорах

Рассмотрим вычисление элементов изгиба балок для типичных случаев нагрузки, наиболее часто встречающихся на практике.

Случай 1. Балка, защемленная одним концом, изгибается силой Р , приложенной на другом конце (рис.8.35). Определить прогиб балки на конце консоли .

Рисунок 8.35 – Жестко заделанная балка при изгибе от силы Р

Решение

Уравнение изгибающего момента в сечении х :

Интегрируя дифференциальное уравнение упругой линии балки (8.22), на основании выражений (8.23) и (8.24) находим:

т.е. соответственно:

С и D используем граничные условия (8.26), соответствующие рассматриваемому случаю опирания балки (см. рис. 8.35):

При ; из выражения (8.28) находим:

При ; из выражения (8.29) находим:

Уравнение прогибов балки на основании выражения (8.29) опишется зависимостью:

Тогда формула для прогиба балки на конце консоли в т.В при х=0 будет:

Знак минус в формуле (8.30) соответствует тому, что прогиб т.В направлен в сторону отрицательной оси у , т.е. вниз.

Случай 2. Балка, шарнирно опертая на двух опорах (рис. 9.36), изгибается сплошной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q . Определить угол поворота сечения на опорах и прогиб посредине балки.

Рисунок 8.36 – Изгиб шарнирно опертой балки при равномерно распределенной нагрузке

Решение

Реакции опор из условий статики равны:

Уравнение для изгибающего момента в сечении х балки:

На основании выражений (8.23) и (8.24) с учетом зависимости (8.31) запишем уравнения для углов поворота и прогибов балки по ее длине при заданном виде нагрузки:

т.е. соответственно:

Для определения постоянных интегрирования С и D воспользуемся граничными условиями (8.25):

При ; из выражения (8.33) находим

При на основании уравнения (8.33) имеем:

Подставляем найденные значения С и D в выражения (8.32) и (8.33):

Из окончательно полученного выражения для углов поворота балки по ее длине (8.34) найдем угол поворота левого сечения А при х=0 :

Знак минус в этом выражении показывает, что с учетом принятого правила знаков сечение А балки поворачивается по часовой стрелке.

Из зависимости (8.35) получим выражение для прогиба балки посередине пролета при

что соответствует прогибу точки балки вниз посредине ее пролета.

Рассмотренный на приведенных примерах метод определения перемещений балки относится к классу аналитических методов , дающих точное решение задач. Однако данный метод не удобен тем, что при нескольких участках нагрузки балки k , а значит разных уравнениях для изгибающих моментов в них, на каждом участке будет по две постоянных интегрирования типа С и D . Тогда общее число постоянных составит () и для их определения необходимо решать систему уравнений с большим числом неизвестных. Задача становится громоздкой и неудобной для практики. Однако существует другой подход к определению перемещений балки при нескольких участках нагружения, когда число постоянных в уравнениях упругой линии не будет зависеть от количества участков нагрузки.

8.9.3. Вычисление перемещений балки на основе метода начальных параметров

Использование нескольких математических приемов (например, интегрирования без раскрытия скобок; введение сомножителей перед нагрузками, учитывающих место их приложения; введение дополнительной распределенной нагрузки) позволило получить обобщенное (для типичных случаев нагрузки), или универсальное уравнение упругой линии балки . Метод расчета перемещений балки на основе универсального уравнения ее упругой линии называется методом начальных параметров .

Рассмотрим практическую сторону использования универсального уравнения упругой линии балки по определению ее перемещений методом начальных параметров.

Рисунок 8.37 – Общий случай нагрузки балки основными типами внешних сил

На балку длиной l действует несколько i основных типов внешних сил: моментов М i , сосредоточенных сил Р i , распределенной нагрузки интенсивности q i (рис.8.37). Начало координат т.О принимается на левом конце балки. Координаты приложения внешних сил, отсчитываемые от т.О , обозначены a i , b i , c i , d i . Внешние силы имеют направления, приводящие к положительным изгибающим моментам от их действия в сечении х на последнем участке балки. Если распределенная нагрузка не доходит до конца балки, то ее следует продлить до конца, а чтобы не изменять условия работы балки, следует одновременно приложить нагрузку той же интенсивности и равную добавленной, но обратного знака.

Универсальное уравнение для прогиба балки на последнем участке (см. рис.8.37) имеет вид:

Дифференцируя это уравнение, получаем выражение для углов поворота сечений балки:

В этих выражениях обозначено: соответственно прогиб, угол поворота сечения, изгибающий момент, перерезывающая сила на левом конце балки, определяемые из граничных условий (эти величины называются начальными параметрами , а отсюда и название метода); знак показывает возможность учета нескольких типовых нагрузок; значок и другие показывает, что соответствующее слагаемые следует учитывать только при , а при оно равно нулю (это значок называется значком Бубнова или прерывателем Герсиванова).

Метод начальных параметров также относится к классу аналитических методов вычисления перемещений балки.

8.9.4. Решение типовых задач по определению перемещений балки методом начальных параметров. Задания для индивидуальной работы

Пример 8.9.1. Балка, лежащая на двух шарнирных опорах, изгибается внешним моментом 𝔐, приложенным посредине пролета (рис.8.38). Определить углы поворота сечений над опорами и максимальный прогиб балки.

Рисунок 8.38 – К определению перемещений балки от внешнего момента

Решение

Реакции опор балки от заданной нагрузки определяются из условий статики (см.п.8.2, рис.8.8):

Прогиб балки и углы поворота ее сечений определяются из универсальных уравнений упругой линии балки (8.38) и (8.39). Здесь сразу из вида опор и граничных условий на них находятся начальные параметры: Тогда универсальные уравнения в сечении х для рассматриваемой балки примут вид:

Подчиняя выражение (8.40) граничному условию на первой опоре при в т.В

Из-за симметрии приложения внешнего момента 𝔐 по отношению к опорам балки имеем:

Знак минус в выражении (8.43) свидетельствует о том, что сечение А и В от действия момента поворачивается по часовой стрелке, а по принятому правилу знаков это соответствует отрицательным углам поворота сечений балки.

Все начальные параметры в уравнениях упругой линии балки определены, а отсюда можем вычислить максимальный прогиб балки при заданной нагрузке.

Из условий экстремума функции прогиба находим то значение х , при котором функция на первом участке получает максимальное значение.

К Вашим услугам. Но аксиомы: "если хочешь, чтобы работа была сделана хорошо, сделай это сам" пока никто не отменял. Дело в том, что в разного рода справочниках и пособиях иногда бывают опечатки или ошибки, поэтому использовать готовые формулы не всегда есть хорошо.

11. Определение угла поворота.

Прогиб строительной конструкции, а в нашем случае балки - единственная величина, которую проще всего определить опытным путем и сложнее всего теоретическим. Когда мы прикладывали к линейке нагрузку (давили на нее пальцем или мощью своего интеллекта), то невооруженным глазом видели, что линейка прогибалась:

Рисунок 11.1. Перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в центре балки и угол поворота продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечного сечения, на одной из опор.

Если бы мы хотели определить величину прогиба опытным путем, то достаточно было бы измерить расстояние от стола, на котором лежат книги (на рисунке не показан) до верха или низа линейки, затем приложить нагрузку и измерить расстояние от стола до верха или низа линейки. Разница в расстояниях - это и есть искомый прогиб (на фотографии величина прогиба обозначена оранжевой линией):

Фотография 1 .

Но попробуем прийти к тому же результату, следуя по тернистому пути теории сопромата.

Так как балка прогнулась (в хорошем значении этого слова), получается, что и продольная ось, проходящая через центры тяжести поперечных сечений всех точек балки, и до приложения нагрузки совпадавшая с осью х , сместилась. Это смещение центра тяжести поперечного сечения по оси у называется прогибом балки f . Кроме того, очевидно, что на опоре эта самая продольная ось теперь находится под некоторым углом θ к оси х , а в точке действия сосредоточенной нагрузки угол поворота = 0, так как нагрузка у нас приложена посредине и балка прогнулась симметрично. Угол поворота принято обозначать "θ ", а прогиб "f " (во многих справочниках по сопромату прогиб обозначается как "ν ", "w " или любыми другими литерами, но нам, как практикам, удобнее использовать обозначение "f ", принятое в СНиПах).

Как определить этот самый прогиб мы пока не знаем, но зато мы знаем, что нагрузка, действуя на балку, создает изгибающий момент. А изгибающий момент создает внутренние нормальные сжимающие и растягивающие напряжения в поперечных сечениях балки . Эти самые внутренние напряжения приводят к тому, что в верхней части балка сжимается, а в нижней растягивается, при этом длина балки по оси, проходящей через центры тяжести поперечных сечений остается такой же, в верхней части длина балки уменьшается, а в нижней части увеличивается, причем чем дальше расположены точки поперечных сечений от продольной оси, тем больше будет деформация. Определить эту самую деформацию мы можем используя еще одну характеристику материала - модуль упругости.

Если мы возьмем кусок бинтовой резины и попробуем его растянуть, то обнаружим, что резина растягивается очень легко, а выражаясь по научному деформируется на значительную величину при воздействии даже небольшой нагрузки. Если мы попробуем проделать то же самое с нашей линейкой, то растянуть ее даже на десятые доли миллиметра руками вряд ли получится, даже если прилагать к линейке нагрузку в десятки раз большую, чем к бинтовой резине. Это свойство любого материала описывается модулем Юнга, который часто называется просто модулем упругости . Физический смысл модуля Юнга при максимально допустимом загружении рассчитываемой конструкции примерно следующий: модуль Юнга показывает отношение нормальных напряжений, (которые при максимально допустимом загружении равны расчетному сопротивлению материала к относительной деформации при таком загружении:

E = R/Δ (11.1.1)

а это значит, что для работы материала в области упругих деформаций значение внутренних нормальных напряжений, действующих не абстрактно, а на вполне определенную площадь сечения, с учетом относительной деформации не должно превышать значения модуля упругости:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

в нашем случае балка имеет прямоугольное сечение, поэтому S = b· h , где b - ширина балки, h - высота балки.

Измеряется модуль Юнга в Паскалях или кгс/м 2 . Для абсолютного большинства строительных материалов модули упругости определены эмпирическим путем, узнать значение модуля для того или иного материала можно по справочнику или сводной таблице .

Определить величину деформации для поперечного сечения, к которому приложена равномерно распределенная нагрузка или сосредоточенная сила в центре тяжести поперечного сечения, очень просто. В таком сечении возникают нормальные сжимающие или растягивающие напряжения, равные по значению действующей силе, направленные противоположно и постоянные по всей высоте балки (согласно одной из аксиом теоретической механики):

Рисунок 507.10.1

и тогда определить относительную деформацию, если известны геометрические параметры балки (длина, ширина и высота) несложно, простейшие математические преобразования формулы (11.1.2) дают следующий результат:

Δ = Q/(S · Е) (11.2.1) или Δ = q·h/(S · Е) (11.2.2)

Так как расчетное сопротивление показывает какую максимальную нагрузку можно приложить к определенной площади, то в данном случае мы можем рассматривать действие сосредоточенной нагрузки на всю площадь сечения нашей конструкции. В некоторых случаях важно определить деформации именно в точке приложения сосредоточенной нагрузки, но сейчас мы эти случаи не рассматриваем. Чтобы определить суммарную деформацию, нужно обе части уравнения умножить на длину балки:

Δl = Q·l/(b· h·Е) (11.2.3) или Δl = q·h·l/(b· h·Е) (11.2.4)

Но в рассматриваемом нами случае на поперечные сечения балки действует не сосредоточенная сила, приложенная к центру тяжести поперечного сечения, а изгибающий момент, который можно представить в виде следующей нагрузки:

Рисунок 149.8.3

При такой нагрузке максимальные внутренние напряжения и соответственно максимальные деформации будут происходить в самой верхней и в самой нижней части балки, а посредине никаких деформаций не будет. Равнодействующую для такой распределенной нагрузки и плечо действия сосредоточенной силы мы находили в предыдущей части (), когда определяли момент сопротивления балки. Поэтому теперь без особого труда можем определить суммарную деформацию в самой верхней и в самой нижней части балки:

Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) (11.3.1)

Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

так как W = b·h 2 /6 (10.6)

Эту же формулу мы можем получить и другим способом. Как мы знаем, момент сопротивления поперечного сечения балки должен удовлетворять следующему условию:

W ≥ М / R (10.3)

Если мы будем рассматривать эту зависимость как уравнение и заменим в этом уравнении значение R на ΔЕ, получим следующее уравнение:

W = М / ΔЕ (11.4.1)

М = WΔЕ (11.4.2) a Δ = M/(W·Е) (11.4.5) и соответственно Δх = M·х/(W·Е) (11.3.2)

В результате деформации, которую мы только что определили, наша балка могла была бы выглядеть так:

Рисунок 11.2. Предполагаемая (для наглядности) деформация балки

то есть в результате деформаций самая верхняя и самая нижняя точки поперечного сечения сместятся на величину Δх. А это значит, что зная величину деформации и высоту балки, мы можем определить угол поворота θ поперечного сечения на опоре балки. Из школьного курса геометрии мы знаем, что отношение катетов прямоугольного треугольника (в нашем случае катеты Δх и h/2) равно тангенсу угла θ:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

tgφ = 2 M·х/(h·W·Е) (11.5.3)

Если вспомнить, что момент инерции - это момент сопротивления поперечного сечения, умноженный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения или наоборот, момент сопротивления - это момент инерции, разделенный на расстояние от центра тяжести до крайней точки сечения:

W = I/(h/2) (10.7) или I = W·h/2 (10.7.2)

то мы можем заменить момент сопротивления на момент инерции:

tgφ = M·х/(I·Е) (11.5.4)

хотя делать это было не обязательно, но таким образом мы получили формулу угла поворота почти такой, как она дается во всех учебниках и справочниках по сопромату. Главное отличие в том, что обычно речь идет о угле поворота, а не о тангенсе угла. И хотя при малых деформациях значения тангенса угла и угол сопоставимы, но тем не менее угол и тангенс угла - это разные вещи (впрочем в некоторых справочниках, например: Фесик С.П. "Справочник по сопротивлению материалов" Киев: Будiвельник. - 1982 переход от тангенса к углу упоминается, хотя и без достаточных на мой взгляд объяснений). Более того, если быть совсем уж точным, то таким способом мы определяем отношение продольной деформации к высоте балки

Рассчитываемые элементы далеко не всегда имеют прямоугольное сечение, как наша рассматриваемая линейка. В качестве балок и перемычек могут использоваться различные горячекатаные профили, тесанные и не тесанные бревна и вообще все, что угодно. Тем не менее понимание принципов расчета момента инерции позволяет определить момент инерции для поперечного сечения любой, даже очень сложной геометрической формы. В абсолютном большинстве случаев вычислять самому момент инерции нет необходимости, для металлических профилей сложного сечения (уголки, швеллера, двутавры и др.) момент инерции, как впрочем и момент сопротивления определяется по сортаменту . Для элементов круглого овального, треугольного сечения и некоторых других видов сечения определить момент инерции можно по соответствующей таблице .

Если рассматривать суммарную деформацию всей балки, т.е. по всей длине l , то очевидно, что суммарная деформация при наших нагрузках не может быть только с одной стороны балки, как показано на рисунке 11.3.а:

Рисунок 11.3 .

Так как к нашей балке нагрузка приложена посредине, в результате чего реакции на опорах, возникающие в результате действия нагрузки равны между собой и каждая равна половине приложенной нагрузки, то скорее при этих условиях суммарная деформация будет выглядеть так, как показано на рисунке 11.3.b и тогда в нашем конкретном случае угол наклона поперечного сечения на каждой из опор будет:

tgθ = M·х/(2IЕ) (11.5.5)

Пока мы определяли тангенс угла поворота простым графоаналитическим методом и в случае, когда нагрузка к балке приложена посредине, это у нас неплохо получилось. Но варианты приложения нагрузок к балке бывают всякие и хотя суммарная деформация всегда будет равна Δl , но угол наклона поперечных сечений на опорах может быть разным. Если мы присмотримся к формулам (11.5.4) и (11.5.5) повнимательнее, то увидим, что мы умножаем значение момента в некоторой точке на величину х , которая с точки зрения теоретической механики ни чем не отличается от понятия - "плечо действия силы". Получается, что для определения тангенса угла поворота мы должны умножить значение момента на плечо действия момента, и значит, понятие "плечо" можно применить не только к силе, но и к моменту. Когда мы использовали понятие плеча действия силы, открытое еще Архимедом, то мы и предполагали как далеко это может нас завести. Метод, показанный на рисунке 5.3, дал нам значение плеча момента = х/2 . Теперь попробуем определить плечо момента другим способом (графоаналитический метод). Тут нам пригодятся эпюры, построенные для балки на шарнирных опорах:

Рисунок 149.7.1 Рисунок 149.7.2

Теория сопротивления материалов позволяет рассматривать внутренние нормальные напряжения, характеризуемые эпюрой "М" рисунка 149.7.1 для балки с постоянной жесткостью, как некую внешнюю фиктивную нагрузку. Тогда площадь эпюры "М" от начала балки до середины пролета - это фиктивная опорная реакция материала балки на равномерно изменяющуюся нагрузку. А фиктивный изгибающий момент - это площадь эпюры "М", умноженная на расстояние от центра тяжести эпюры "М" до рассматриваемой точки. Так как значение изгибающего момента посредине пролета составляет Ql/4, то площадь такой фигуры составит Ql/4(l/2)(1/2) = Ql 2 /16. А если это значение разделить на жесткость ЕI, то мы получим значение тангенса угла поворота.

Забегая наперед, определим значение прогиба. Расстояние от центра тяжести треугольной эпюры "М" до середины пролета равно l/6, тогда фиктивный изгибающий момент составит (Ql 2 /16)l/2 - (Ql 2 /16)l/6 = Ql 3 /48. Тогда прогиб f = Ql 3 /48EI. А так как эпюра моментов у нас расположена снизу балки, то такая фиктивная нагрузка будет в итоге давать отрицательное значение угла поворота и прогиба, что в общем-то логично, так как при таком действии нагрузки прогиб - смещение центра тяжести поперечного сечения будет происходить вниз по оси у.

Характерная особенность графоаналитического метода состоит в том, что количество вычислений можно еще сократить. Для этого нужно умножить площадь эпюры фиктивной нагрузки на расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат, а не до рассматриваемой точки на оси. Например, для вышеприведенного случая (Ql 2 /16)l/3 = Ql 3 /48

При равномерно распределенной нагрузке эпюра моментов описывается квадратичной параболой, определить площадь такой фигуры и расстояние до центра тяжести сложнее, но для того нам и нужны знания по геометрии, чтобы можно было определить площадь любой фигуры и положение центра тяжести такой фигуры.

Таким образом получается, что для балки, на которую действует сосредоточенная нагрузка в середине балки при х=l/2:

tgθ = М·(x/2)/(ЕI) = ((Ql/4)·(l/4))/(ЕI) = Ql 2 /(16EI) (11.6.1)

То, что мы только что делали называется интегрированием, ведь если умножить значение значение эпюры "Q" (рисунок 149.7.1) на длину действия нагрузки, мы тем самым определим площадь прямоугольника со сторонами "Q" и х, при этом площадь данного прямоугольника равняется значению эпюры "М" в точке х .

Теоретически получается, что мы можем определить значение тангенса угла поворота, интегрируя одно из уравнений моментов, составленных для нашей балки. Максимальное значение тангенса угла поворота для балки на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредоточенная нагрузка посредине (рисунок 149.7.1), будет при х=l/2

tgθ = ∫Mdx/(EI) = ∫Axdx/(EI) = Ax 2 /(2EI) = (Q/2)·(l/2) 2 /(2ЕI) = Ql 2 /(16EI) (11.6.2)

где А - это реакция опоры = Q/2

При распределенной нагрузке интегрирование уравнения моментов: q(l/2)·x - qx 2 /2 для левой части балки дает следующий результат:

tgθ = ∫Mdx/(EI) = q·(l/2)·(l/2) 2 /(2ЕI) -q·(l/2) 3 /(6ЕI) = ql 3 /(24EI) (11.6.3)

Тот же результат мы получим и при использовании графо-аналитического метода.

Когда мы определяли угол поворота, то для наглядности предположили, что балка деформировалась так, как показано на рисунке 5.2, потом так, как показано на рисунке 11.3.b, потом мы выяснили, что если бы второй опоры не было, то балка повернулась вокруг первой опоры, но в действительности вторая опора есть и потому так балка деформироваться (при нашей нагрузке на балку) не может. Так как на опоре нет никакого вращающего момента и соответственно никаких внутренних напряжений, способных изменить геометрическую форму балки, то геометрическая форма балки на опоре остается неизменной, а внутренние напряжения, увеличивающиеся по ходу балки, деформируют балку все сильнее и это приводит к тому, что балка поворачивается вокруг шарнирных опор и этот угол поворота равен углу наклона поперечного сечения θ (так как мы рассматриваем балку-параллелепипед):

Рисунок 11.4. Реальная деформация балки.

Если мы просто постоим эпюру углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой посредине по уравнениям для левой и для правой части балки, то эпюра будет выглядеть так:

Рисунок 11.5 .

Данная эпюра была бы правильной только для балки, изображенной на рисунке 5.3.а. Очевидно, что в нашем случае эпюра так выглядеть не может и для построения правильной эпюры нужно учесть, что поперечные сечения балки имеют наклон на обоих опорах, причем наклон этот одинаковый по значению, но разный по направлению а наклон поперечного сечения балки посредине =0. Если мы опустим эпюру на Ql 2 /16EI, которое мы получаем при интегрировании уравнения моментов для левой части балки и которое показывает угол наклона поперечного сечения именно на опоре, то получим эпюру следующего вида:

Рисунок 11.6 .

Данная эпюра абсолютно точно показывает, изменение угла поворота поперечных сечений, вдоль всей балки, а значение тангенса угла поворота на левой опоре балки не что иное, как некая постоянная С 1 , которую мы получаем, если интегрирование выполнять корректно. И тогда уравнение угла поворота для балки при данной нагрузке на участке 0 будет выглядеть так:

tgθ х = - tgθ A + Ax 2 /(2EI) (11.6.5)

Эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой визуально ни чем не отличается от эпюры углов поворота для балки со сосредоточенной нагрузкой, разница только в том, что эпюра углов поворота для балки с распределенной нагрузкой - это кубическая парабола. Уравнение угла поворота для балки с равномерно распределенной нагрузкой будет выглядеть так:

tgθ х = - tgθ A + Ax 2 /(2EI) - qx 3 /(6ЕI) (11.6.6)

По поводу знаков в данном уравнении. "-" означает, что рассматриваемый член уравнения как бы пытается повернуть балку против часовой стрелки относительно рассматриваемого поперечного сечения, а "+" - по часовой стрелке. Впрочем и по эпюре углов поворота видно, что значение tgθ А должно быть отрицательным. Таким образом, если сечение имеет наклон по часовой стрелке относительно оси х, то оно будет отрицательным, а если против часовой стрелки - то положительным.

Ну и теперь самое главное, все эти разборки с углом поворота поперечного сечения нужны нам были для того, чтобы определить прогиб балки.

12. Определение прогиба.

Как мы видим из рисунка 11.4, треугольник с катетами h/2 и Δх является подобным треугольнику с катетом Х и вторым катетом, равным f+у , а это значит, что теперь мы можем определить значение прогиба:

tgθ = (f + y)/Х (12.1)

f + y = tgθ·X (12.2.1) или f + y = М·x·Х/(2ЕI) (12.2)

при малых значениях х значение у близко к 0, но в более дальних точках сечения значение у увеличивается. Значение у - это и есть влияние на величину прогиба наличия второй опоры. Отметим, что это значение у показывает разницу между реальным наклоном продольной оси балки и наклоном продольной оси балки, если бы балка просто поворачивалась вокруг опоры, и получается, что значение у зависит от изменения угла поворота. Кроме того, мы опять получили уравнение, в котором значение прогиба в некоторой точке зависит от тангенса угла поворота (12.2.1) и таким образом получается, что у угла поворота тоже есть "плечо действия". Например при у=f/2 (если присмотреться к левой части фотографии 1, то посредине балки это где-то так и будет) мы бы получили следующую формулу для определения прогиба:

f = М·x 2 /(3ЕI) (12.3.1)

Но мы не будем ничего предполагать, а воспользуемся интегрированием. Если мы проинтегрируем уравнение моментов для левой части балки, то получим значение у (эпюра для у показана бирюзовым цветом на фотографии 1):

у =∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(96EI) (12.3.2)

или площадь фиолетовой эпюры для левой части балки(рисунок 5.5), но нам нужна площадь голубой эпюры на левом участке балки (рисунок 5.6), которая в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры. Таким образом:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2)·(l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(48EI) (12.3.3)

Почему площадь голубой эпюры в 2 раза больше площади фиолетовой эпюры, объяснить очень легко. Площадь треугольника равна 1/2 от площади прямоугольника с теми же сторонами, площадь фигуры, описанной квадратной параболой, составляет 1/3 от площади прямоугольника с теми же сторонами. Если бы мы развернули фиолетовую эпюру, то получили бы прямоугольник, образованный голубой и фиолетовой эпюрами. Соответственно, если из площади прямоугольника вычесть 1/3, то мы получим 2/3. У этого логического ряда есть продолжение - площадь фигуры, описанной кубической параболой, составляет 1/4 от площади прямоугольника с теми же сторонами и так далее.

Мы можем найти значение прогиба и другим способом. Из рисунка 11.4 и формул (12.2) следует, что:

f х = - tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f l/2 = - (Ql 2 /16EI) l/2 + (Ql 3 /96EI) = -(Ql 3 /48EI) (12.3.5)

В данном случае знак "-" показывает, что центр поперечного сечения балки переместится вниз по оси у относительно оси х . А теперь вернемся к фотографии 1. Под продольной осью балки изображена эпюра у , именно это значение в точке l/2 мы и вычли, решая уравнение (12.3.3). Кроме того получается, что соотношение между f и у зависит от коэффициента предыдущего интегрирования, т.е. у = kf или f = y/k . Когда мы интегрировали уравнение сил, то получили коэффициент 1/2. Впрочем, такое же значение мы получили и тогда, когда определяли плечо действия момента. Если продолжить этот логический ряд, то получается, что при определении прогиба от распределенной нагрузки мы должны использовать коэффициент 1/3, то есть прогиб в середине балки мы можем вычислить по следующей формуле:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx - 3 ∫∫∫∫ qdх = (2(qlx 3 /6) - 3(qx 4 /24))/EI = 5ql 4 /(384EI) (12.4.4)

f х = - ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdх (12.4.5)

f l/2 = (- ql 3 x/24 + (qlx 3 /6) - (qx 4 /24))/EI = - 5ql 4 /(384EI) (12.4.6)

В данном случае знак "-" означает, что центр тяжести поперечного сечения перемещается вниз по оси у .

Примечание: Предложенный метод определения прогиба несколько отличается от общепринятых, так как я старался сделать основной упор на наглядность.

Если определять прогиб графоаналитическим методом, то площадь фиктивной нагрузки - эпюры моментов, описываемой квадратной параболой, будет составлять (согласно таблице 378.1) (2ql 2 /(8·3))l/2 = ql 3 /24. А расстояние от центра тяжести эпюры до начала координат составляет 5/8, Тогда фиктивный момент равен (ql3/24)(5l/(8·2)) = 5ql 4 /384.

Конечно же, сосредоточенная нагрузка к балке может быть приложена и не посредине, распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной и действовать не по всей длине балки, да и варианты крепления балки на опорах бывают разные. Но для того и существуют готовые формулы , чтобы ими пользоваться.

Позвольте! - Скажете вы, - Все это хорошо, но как быть с касательными напряжениями? Ведь они действуют вдоль оси у и потому должны как-то влиять на прогиб!

Все верно. Касательные напряжения действительно влияют на прогиб , однако для балок с соотношением l/h > 10 это влияние очень незначительно и потому допустимо для определения прогиба пользоваться изложенным в данной статье методом.

Но это еще не все, как мы уже говорили, определить значение прогиба опытным путем достаточно просто по методу, описанному в самом начале статьи. Так так ничего лучшего под рукой не было, то я взял деревянную линейку, прообраз которой я так долго описывал (см. фотографию 1). Деревянная линейка имела размеры около 91.5 см, ширину b=4.96 см и высоту h=0.32 cм (высоту и ширину определял штангенциркулем). Затем я положил линейку на опоры, при этом расстояние между опорами составило около 90 см и таким образом получил балку с пролетом l=90 см. Под воздействием собственного веса линейка конечно же немного прогнулась, но столь малый прогиб меня не интересовал. Я измерил рулеткой (точность до 1 мм) расстояние от пола до низа линейки (77.65 см), затем приложил посредине условно сосредоточенную нагрузку (поместил посредине мерный стакан весом около 52 грамм с 250 граммами воды) и измерил расстояние от пола до низа линейки при нагрузке (75.5 см). Разница этих двух измерений и составила искомый прогиб. Таким образом величина прогиба определенного опытным путем составила 77.65 - 75.5 = 2.15 см. Осталось только найти модуль упругости для древесины, определить момент инерции для данного сечения и точно посчитать нагрузку. Модуль упругости Е для древесины = 10 5 кгс/см 2 , момент инерции прямоугольного сечения I z = bh 3 /12 = 4.98·0.32 3 /12 = 0.01359872 см 4 , полная нагрузка - 0.302 кг.

Расчет прогиба по формуле дал: f = Ql 3 /(48EI) = 0.302·90 3 /(48·10 5 ·0.0136) = 3.37 см. Напомню, что прогиб, определенный опытным путем, составил: f = 2.15 см. Возможно следовало учесть влияние на прогиб первой производной функции - тангенса угла поворота? Ведь угол наклона, судя по фотографии, достаточно большой.

Проверяем: tgθ = Ql 2 /(16EI) = 0.302·90 2 /(16·10 5 ·0.0136) = 0.11233. Тогда согласно формулы (542.12) f = 3.37/((1 + 0.112 2) 3/2) = 3.307 см. Т.е. влияние конечно есть, но оно не превышает 2% или 0.63 мм.

Результат меня сначала удивил, но потом объяснений для такого расхождения нашлось несколько, в частности в середине поперечное сечение линейки было не прямоугольным, так как линейка была деформирована от времени и воздействия воды, соответственно момент инерции для такого сечения больше чем, для прямоугольного, кроме того, линейка изготовлена не из сосны, а из более твердой породы древесины, для которой и модуль упругости следует принимать больше. Да и с научной точки зрения одного результата совершенно недостаточно, чтобы говорить о каких-либо закономерностях. После этого я проверил величину прогиба для деревянного бруска с моментом инерции I=2.02 см 4 , длиной более 2 м при пролете 2 м под нагрузкой 2 кг, приложенной посредине бруска и тогда значение прогиба, определенного теоретическим путем и опытным путем, совпало до десятых долей миллиметра. Конечно, можно было бы и дальше продолжать эксперименты, но так уж получилось, что до меня это уже сделали сотни других людей и получили на практике результаты, очень близкие к теоретическим. А если еще учесть, что идеально изотропные материалы бывают только в теории, то это очень хорошие результаты.

Определение угла поворота через прогиб.

Определить значение угла поворота для шарнирно опертой балки, на которую действует только изгибающий момент M на одной из опор, например на опоре А , казалось бы, проще простого:

tgθ х = - tgθ A + Мx/(EI) - Аx 2 /(2ЕI) (13.1.1)

где А = М/l , (B = - M/l), но для этого нужно знать угол поворота на опоре А , а мы его не знаем, однако вычислить его помогает понимание того, что прогиб на опорах будет равен нулю и тогда:

f A = tgθ B l - Bl 3 /(6EI) = 0; tgθ B = - Ml 3 /(6l 2 EI) = - Ml/(6EI) (13.1.2)

f B = tgθ A l + Ml 2 /(2EI)- Al 3 /(6EI) = 0; tgθ A = - Ml/(3EI) (13.1.3)

Как видим, угол поворота на опоре к которой приложен изгибающий момент, в два раза больше угла поворота на противоположной опоре, это очень важная закономерность, которая в дальнейшем нам очень пригодится.

Когда сосредоточенная нагрузка к балке приложена не по центру тяжести или распределенная нагрузка является неравномерной, то углы поворота на опорах определяются через прогиб, как в вышеприведенном примере. Другими словами - значения начальных параметров определяются в ходе решения

Изогнутая под действием нагрузок ось балки представляет собой плавную кривую, которая называется упругой линией. Деформация балки при изгибе характеризуется прогибом у и углом поворота поперечного сечения , который равен углу а наклона касательной к упругой линии по отношению к оси z балки. Уравнения прогибов и углов поворота сечений в общем виде записываются в виде у = f(z), а = f 2 {z)

Из математики известно, что радиус кривизны кривой y = f(z),

в любой точке определяется по формуле где

Ввиду малости деформаций пренебрегаем величиной (у) 2 (так как она значительно меньше единицы) и тогда р * 1 /у". Ранее мы вывели формулу ; подставляя в нее полученное приближенное значение радиуса кривизны, имеем дифференциальное уравнение упругой линии балки:

Чтобы получить уравнение углов поворота сечений а = / 2 (z ), надо это уравнение проинтегрировать один раз, причем ввиду малости деформаций будем считать, что у" = tga * a , рад. Чтобы получить уравнение прогибов у = fi(z), надо это же уравнение проинтегрировать дважды.

Рассмотрим балку постоянного сечения, нагруженную моментом т, сосредоточенной силой F и равномерно распределенной нагрузкой

Рис. 6.23

Начало координат возьмем на левом конце балки, ось у направим вверх, а ось z - вправо. Рассматриваемая балка имеет пять участков, каждому из которых соответствует свое уравнение моментов, уравнение прогибов и уравнение углов поворота сечений. Обратим внимание на то, что упругая линия балки есть плавная кривая, следовательно, на границах участков значения углов поворота сечения и прогибов, вычисленных из уравнений соседних участков, будут совпадать. Интегрирование дифференциальных уравнений будем производить, не раскрывая скобок в уравнениях моментов, что сказывается лишь на значениях произвольных постоянных.

Участок 1 :

Участок 2

Подставив в уравнения первого и второго участков значение z~ о, получим

Участок 3:

Участок 4:

Так как на границах смежных участков справедливы уравнения и предыдущего и последующего участков, то Q = С 2 = С 3 = С 4 = С, D Z?2 Z) 3 Z?4 Z).

Обозначив через ао угол поворота сечения в начале координат (в радианах), а через у 0 - прогиб в начале координат, при z = 0 получим

Так как каждой отдельной нагрузке в уравнениях соответствует отдельное слагаемое, то в общем виде можно записать

обобщенное уравнение углов поворота сечений:

обобщенное уравнение прогибов:

Если равномерно распределенная нагрузка заканчивается не в конце балки, то эту нагрузку следует мысленно продолжить до конца и добавить противоположно направленную нагрузку такой же интенсивности (рис. 6.23, участок 5). При этом в обобщенные уравнения углов поворота и прогибов соответственно добавится еще по одному слагаемому с отрицательным знаком: -

Знаки слагаемых в обобщенных уравнениях устанавливают по правилу знаков для изгибающих моментов: положительное значение у обозначает прогиб вверх, и наоборот; положительное значение а означает поворот сечения против часовой стрелки, и наоборот.

При пользовании обобщенными уравнениями следует помнить, что:

• 1) для балки, жестко защемленной левым концом, ао = 0, уо = 0;
• 2) для балки, левый конец которой лежит на опоре, ао* 0, уо = 0; для определения ао следует составить уравнение прогибов для второй опоры и приравнять его нулю;
• 3) в сечении с максимальным прогибом угол поворота сечения а = 0, так как в этой точке упругой линии касательная параллельна оси Z-

Помимо расчетов на прочность балки нередко проверяют или рассчитывают на жесткость. Условие жесткости заключается в том, что максимальный прогиб (стрела прогиба f) или максимальный угол поворота не должны превышать допускаемых величин. Расчетные уравнения на жесткость имеют вид:

Допускаемую величину прогиба обычно задают в долях длины пролета /, например, для мостов [/] = (1/700...1/1000) /. Допускаемый угол поворота сечения задают в долях радиана.

В заключение параграфа выведем формулу потенциальной энергии деформации балки.

Из формулы определим кривизнуупругой линии

где dа - элементарный угол поворота сечения z на участке dz (угол смежности).

Тогда Элементарная потенциальная энергия деформации равна элементарной работе изгибающего момента и при статическом нагружении равна В результате интегрирования в пределах участка длиной / получим нужную формулу

Пример 6.8

Определить прогиб у в свободного конца консольной балки АВ, изгибаемой сосредоточенной силой /Грис. 6.24).

Решение. Реакция R A и момент защемления т А соответственно равны R A = = F,m A = FI. Учитывая, что уо = 0 и а 0 = 0, из обобщенного уравнения прогибов находим Е1у в = R A l 2 /в-т А 1 2 /2 . Подставив значения R A wm, получим

Пример 6.9

Определить максимальный прогиб и углы поворота сечений на опорах балки, показанной на рис. 6.25.

Решение. В силу симметрии балки реакции опор равны R A = R B = ql/2. Поместим начало координат на левой опоре; тогда у 0 = 0. Для определения ао используем условие, что при z = IУв = 0.

откуда а 0 = -ql 2 /(24 EI). Очевидно, что а в = -а 0 . Наибольшие углы поворота имеют опорные сечения.

Рис. 6.25

Максимальный прогиб находится посередине пролета балки, то есть при 1=1/ 2. Тогда

Следовательно,

Пример 6.10

Определить максимальный прогиб и угол поворота на опорах балки, нагруженной посередине пролета сосредоточенной силой (рис. 6.26).

Рис. 6.26

Решение. Реакции равны F/2 каждая и направлены снизу вверх. Помещаем начало координат на левой опоре, тогда уо = 0- Для определения а 0 используем условие, что при z = / прогиб равен нулю (у в = 0):

тогда следовательно,

Ввиду симметрии угол поворота на правой опоре

Максимальный прогиб будет при z = 4 2, тогда , следовательно, . Окончательно