Отношения и функции. Функции, виды, уровни общения Следующие функции по отношению

Человеку присуща потребность в общении, взаимодействии с другими людьми. Удовлетворяя эту потребность, он проявляет и реализует свои возможности.

Человеческая жизнь на всем ее протяжении проявляется, прежде всего, в общении. И все многообразие жизни отражается в столь же бесконечном многообразии общения: в семье, школе, на производстве, в быту, компаниях и т.д.

Общение - одна из универсальных форм активности личности, проявляющаяся в установлении и развитии контактов между людьми, в формировании межличностных отношений и порождаемая потребностями в совместной деятельности.

Общение выполняет целый ряд основных функций :

• Информационная - функция приема, передачи сведений;
• Контактная - установление контакта как состояния обоюдной готовности людей к приему и передачи информации;
• Побудительная - функция стимуляции активности к действию;
• Координационная - функция взаимного ориентирования и согласования действий;
• Понимания - предполагает не только прием информации, но и понимание этой информации друг другом;
• Амотивная - функция возбуждения в партнере нужных эмоций, переживаний, чувств, предполагает эмоциональный обмен, изменение эмоционального состояния;
• Функция установления отношений - осознание и фиксирование своего социального статуса, социальной роли в конкретной социальной общности.
• Функция оказания влияния - изменение состояния, поведения, намерений, представлений, установок, мнений, решений, потребностей, действий и т.д.

Наряду с функциями выделяют основные виды общения.

По количеству участников:

• межличностное;
• групповое.

По способу общения:

• вербальное;
• невербальное.

По положению общающихся:

• контактное;
• дистантное.

По условиям общения:

• официальное;
• неофициальное.

В структуре общения выделяют три тесно взаимосвязанные, взаимообусловленные стороны:

• Перцептивная сторона общения - процесс восприятия друг друга.
• Коммуникативная сторона общения предполагает передачу информации. При этом необходимо учитывать, что человек высказывает 80% от того, что хочет сказать, слушающий - воспринимает 70% и понимает 60% от сказанного.
• Интерактивная сторона общения предполагает организацию взаимодействия (согласованность действий, распределение функций и др.).

При организации общения необходимо учитывать, что оно проходит ряд этапов, каждый из которых влияет на его эффективность.

Если один из этапов общения выпадает, эффективность общения резко снижается и существует вероятность не достичь тех целей, которые ставились при организации общения. Умение эффективно достигать поставленных целей в общении называется коммуникабельностью, коммуникативной компетентностью, социальным интеллектом.

1. Лекция № 1. Множества и операции над ними.
2. Лекция № 2. Соответствия и функции.
3. Лекция № 3. Отношения и их свойства.
4. Лекция № 4. Основные виды отношений.
5. Лекция № 5. Элементы общей алгебры.
6. Лекция № 6. Различные виды алгебраических структур.
7. Лекция № 7. Элементы математической логики.
8. Лекция № 8. Логические функции.
9. Лекция № 9. Булевы алгебры.
10. Лекция № 10. Булевы алгебры и теория множеств.
11. Лекция № 11. Полнота и замкнутость.
12. Лекция № 12. Язык логики предикатов.
13. Лекция № 13. Комбинаторика.
14. Лекция № 14. Графы: основные понятия и операции.
15. Лекция № 15. Маршруты, цепи и циклы.
16. Лекция № 16. Некоторые классы графов и их частей.

РАЗДЕЛ I. МНОЖЕСТВА, ФУНКЦИИ, ОТНОШЕНИЯ.

Лекция № 2. Соответствия и функции.

1. Соответствия.

Определение. Соответствием между множествами А и В называется некоторое подмножество G их декартова произведения: .

Если , то говорят, что соответствует при соответствии . При этом множество всех таких называют областью определения соответствия , а множество соответствующих значений называются областью значений соответствия .

В принятых обозначениях, каждый элемент , соответствующий данному элементу называется образом при соответствии , наоборот, элемент называется прообразом элемента при данном соответствии.

Соответствие называется полностью определённым , если , то есть каждый элемент множества имеет хотя бы один образ во множестве ; в противном случае соответствие называется частичным .

Соответствие называется сюръективным , если , то есть если каждому элементу множества соответствует хотя бы один прообраз во множестве .

Соответствие называется функциональным (однозначным), если любому элементу множества соответствует единственный элемент множества .

Соответствие называется инъективным , если оно является функциональным, и при этом каждый элемент множества имеет не более одного прообраза.

Соответствие называется взаимнооднозначным (биективным), если любому элементу множества соответствует единственный элемент множества , и наоборот. Можно сказать также, что соответствие является взаимнооднозначным, если оно является полностью определённым, сюръективным, функциональным, и при этом каждый элемент множества имеет единственный прообраз.

Пример 1.

а) Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множествами слов русского и английского языка. Оно не является функциональным, так как почти каждому русскому слову соответствует несколько английских переводов; оно, также, не является, как правило, полностью определённым соответствием, так как всегда существуют английские слова, не включённые в данный словарь. Таким образом, это частичное соответствие.

б) Соответствие между аргументами функции и значениями этой функции является функциональным. Однако оно не является взаимнооднозначным, так как каждому значению функции соответствуют два прообраза и .

в) Соответствие между расположенными на шахматной доске фигурами и занимаемыми ими полями является взаимно однозначным.

г) Соответствие между телефонами города Вязьмы и их пятизначными номерами обладает, на первый взгляд, всеми свойствами взаимнооднозначного соответствия. Однако оно, например, не сюръективно, поскольку существуют пятизначные числа, не соответствующие никаким телефонам.

2. Взаимнооднозначные соответствия и мощности множеств.

Если между двумя конечными множествами А и В существует взаимнооднозначное соответствие, то эти множества равномощны. Этот очевидный факт позволяет, во-первых, установить равенство мощности этих множеств, не вычисляя их. Во-вторых, часто можно вычислить мощность множества, установив его однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна, либо легко вычисляется.

Теорема 2.1. Если мощность конечного множества А равна , то число всех подмножеств А равно , то есть .

Множество всех подмножеств множества М называется булеаном и обозначается . Для конечных множеств выполняется: .

Определение. Множества А и В называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Заметим, что для конечных множеств это утверждение легко доказать. Для бесконечных множеств оно определят само понятие равномощности.

Определение. Множество А называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел : .

Очень упрощённо можно сказать, что данное бесконечное множество является счётным, если для его элементов можно установить нумерацию с помощью натуральных чисел.

Без доказательства примем ряд важных фактов:

1. Любое бесконечное подмножество множества натуральных чисел является счётным.

2. Множество является счётным.

3. Множество рациональных чисел является счётным (является следствием из предыдущего утверждения).

4. Объединение конечного числа счётных множеств является счётным.

5. Объединение счётного числа конечных множеств является счётным.

6. Объединение счётного числа счётных множеств является счётным.

Все эти утверждения, как можно видеть, позволяют достаточно успешно устанавливать факт, что данное множество является счётным. Однако сейчас будет показано, что не всякое бесконечное множества является счётным; существует множества большей мощности.

Теорема 2.2 (теорема Кантора). Множество всех действительных чисел из отрезка не является счётным.

Доказательство. Допустим, что множество является счётным и существует его нумерация. Поскольку любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической или непериодической), то проделаем это с числами данного множества. Расположим их в порядке этой нумерации:

Теперь рассмотрим любую бесконечную десятичную дробь вида , организованную таким образом, что и так далее. Очевидно, что данная дробь не входит в рассматриваемую последовательность, поскольку от первого числа она отличается первой цифрой после запятой, от второго – второй цифрой и так далее. Следовательно, мы получили число из данного интервала, которое не пронумеровано и, таким образом, множество не является счётным. Его мощность называется континуум , а множества такой мощности называются континуальными . Приведённый метод доказательства называется диагональным методом Кантора .

Следствие 1. Множество действительных чисел континуально.

Следствие 2. Множество всех подмножеств счётного множества континуально.

Как показывается в теории множеств (с помощью метода, аналогичного приведённому выше), для множества любой мощности множество всех его подмножеств (булеан) имеет более высокую мощность. Поэтому не существует множества максимальной мощности. Например, множество-универсум , описанное Кантором должно содержать все мыслимые множества, однако оно само содержится в множестве своих подмножеств в качестве элемента (парадокс Кантора). Получается, что множество не является множеством максимальной мощности.

3. Отображения и функции.

Функцией называется любое функциональное соответствие между двумя множествами. Если функция устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет вид (обозначение ). Каждому элементу из своей области определения функция ставит в соответствие единственный элемент из области значений. Это записывается в традиционной форме . Элемент называется аргументом функции, элемент - её значением .

Полностью определённая функция называется отображением А в В; образ множества А при отображении обозначается . Если при этом , то есть соответствие сюръективно, говорят, что имеет отображение А на В.

Если состоит из единственного элемента, то называется функцией-константой.

Отображение типа называется преобразованием множества А.

Пример 2.

а) Функция является отображением множества натуральных чисел в себя (инъективная функция). Эта же функция при всех является отображением множества целых чисел в множество рациональных чисел.

б) Функция является отображением множества целых чисел (кроме числа 0) на множество натуральных чисел. Причём в данном случае соответствие не является взаимно однозначным.

в) Функция является взаимнооднозначным отображением множества действительных чисел на себя.

г) Функция не полностью определена, если её тип , но полностью определена, если её тип или .

Определение. Функция типа называется местной функцией. В этом случае принято считать, что функция имеет аргументов: , где .

Например, сложение, умножение, вычитание и деление являются двухместными функциями на , то есть функциями типа .

Определение. Пусть дано соответствие . Если соответствие таково, что тогда и только тогда, когда , то соответствие называют обратным к и обозначают .

Определение. Если соответствие, обратное к функции является функциональным, то оно называется функцией, обратной к .

Очевидно, что в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, поэтому для существования обратной функции требуется, чтобы каждый элемент из области значения имел бы единственный прообраз. Это означает, что для функции обратная функция существует тогда и только тогда, когда является биективным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пример 3. Функция имеет тип . Отрезок она взаимно однозначно отображает на отрезок . Поэтому для неё на отрезке существует обратная функция. Как известно, это .

Определение. Пусть даны функции и . Функция называется композицией функций и (обозначается ), если имеет место равенство: , где .

Композиция функций и представляет собой последовательное применение этих функций; применяется к результату .Часто говорят, что функция получена подстановкой в .

Для многоместных функций возможны различные варианты подстановок в , дающие функции различных типов. Особый интерес представляет случай, когда задано множество функций типа: . В этом случае возможны, во-первых, любые подстановки функций друг в друга, а во-вторых, любые переименования аргументов. Функция, полученная из данных функций некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется их суперпозицией.

Например, в математическом анализе вводится понятие элементарной функции, являющейся суперпозицией фиксированного (не зависящего от значения аргумента) числа арифметических операций, а также элементарных функций ( и т. п.).

А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольдом доказано, что всякая непрерывная функция переменных представима в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных.

Замечание. Понятие функции широко используется в математическом анализе, более того, является в нём базовым понятием. В целом, подход к пониманию термина “функция” в матанализе несколько уже, чем в дискретной математике. Как правило, в нём рассматриваются так называемые вычислимые функции. Функция называется вычислимой, если задана процедура, позволяющая по любому заданному значению аргумента найти значение функции.

Назад, в начало конспекта.

Пример 1.

а) Отношение равенства (часто обозначается ) на любом множестве является отношением эквивалентности. Равенство – это минимальное отношение эквивалентности в том смысле, что при удалении любой пары из этого отношения (то есть любой единицы на главной диагонали матрицы ) оно перестаёт быть рефлексивным и, следовательно, уже не является эквивалентностью.

б) Утверждения вида или , состоящие из формул, соединённых знаком равенства, задают бинарное отношение на множестве формул, описывающих суперпозиции элементарных функций. Это отношение обычно называется отношением равносильности и определяется следующим образом: две формулы равносильны, если они задают одну и ту же функцию. Равносильность в данном случае, хотя и обозначена знаком “=”, означает не то же самое, что отношение равенства, так как оно может выполняться для различных формул. Впрочем, можно считать, что знак равенства в таких отношениях относится не к самим формулам, а к функциям, которые ими описываются. Для формул же отношение равенства – это совпадение формул по написанию. Оно называется графическим равенством. Кстати, чтобы в подобных ситуациях избежать разночтений, часто для обозначения отношения равносильности используют знак “ ”.

в) Рассмотрим множество треугольников на координатной плоскости, считая, что треугольник задан, если даны координаты его вершин. Два треугольника будем считать равными (конгруэнтными), если при наложении они совпадают, то есть, переведены друг в друга с помощью некоторого перемещения. Равенство является отношением эквивалентности на множестве треугольников.

г) Отношение “иметь один и тот же остаток отделения на натуральное число ” на множестве натуральных чисел является отношением эквивалентности.

е) Отношение “быть делителем” не является на множестве отношением эквивалентности. Оно обладает свойствами рефлексивности и транзитивности, но является антисимметричным (см. ниже).

Пусть на множестве задано отношение эквивалентности . Осуществим следующее построение. Выберем элемент и образуем класс (подмножество ), состоящий из элемента и всех элементов, эквивалентных ему в рамках данного отношения. Затем выберем элемент и образуем класс , состоящий из и эквивалентных ему элементов. Продолжая эти действия, получим систему классов (возможно, бесконечную) такую, что любой элемент из множества входит хотя бы в один класс, то есть .

Эта система обладает следующими свойствами:

1) она образует разбиение множества , то есть классы попарно не пересекаются;

2) любые два элемента из одного класса эквивалентны;

3) любые два элемента из разных классов не эквивалентны.

Все эти свойства прямо следуют из определения отношения эквивалентности. Действительно, если бы, например, классы и пресекались, то они имели бы хотя бы один общий элемент. Этот элемент был бы, очевидно, эквивалентен и . Тогда, в силу транзитивности отношения выполнялось бы . Однако, по способу построения классов, это не возможно. Аналогично можно доказать другие два свойства.

Построенное разбиение, то есть система классов – подмножеств множества , называется системой классов эквивалентности по отношению . Мощность этой системы называется индексом разбиения . С другой стороны, любое разбиение множества на классы само определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно отношение “входить в один класс данного разбиения”.

Пример 2.

а) Все классы эквивалентности по отношению равенства состоят из одного элемента.

б) Формулы, описывающие одну и ту же элементарную функцию, находятся в одном классе эквивалентности по отношению равносильности. В данном случае счётными являются само множество формул, множество классов эквивалентности (то есть индекс разбиения) и каждый класс эквивалентности.

в) Разбиение множества треугольников по отношению равенства имеет континуальный индекс, причём каждый класс имеет также мощность континуум.

г) Разбиение множества натуральных чисел по отношению “иметь общий остаток при делении на 7” имеет конечный индекс 7 и состоит из семи счётных классов.

1. Отношения порядка.

Определение 1. Отношение называется отношением нестрогого порядка , если оно является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Определение 2. Отношение называется отношением строгого порядка , если оно является антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Оба типа отношений вместе называются отношениями порядка . Элементы сравнимы по отношению порядка , если выполняется одно из двух отношений или . Множество , на котором задано отношение порядка, называется полностью упорядоченным, если любые два его элемента сравнимы. В противном случае, множество называется частично упорядоченным.

Пример 3.

а) Отношения “ ” и “ ” являются отношениями нестрогого порядка, отношения “<” и “>” – отношениями строгого порядка (на всех основных числовых множествах). Оба отношения полностью упорядочивают множества и .

б) Определим отношения “ ” и “<” на множестве следующим образом:

1) , если ;

2) , если и при этом ходя бы для одной координаты выполняется .

Тогда, например, , но и несравнимы. Таким образом, эти отношения частично упорядочивают .,

в) На системе подмножеств множества отношение включения “ ” задаёт нестрогий частичный порядок, а отношение строгого включения “ ” задаёт строгий частичный порядок. Например, , а и не сравнимы.

г) Отношение подчинённости в трудовом коллективе создаёт строгий частичный порядок. В нём, например, несравнимыми являются сотрудники различных структурных подразделений (отделов и т. п.).

д) В алфавите русского языка порядок букв зафиксирован, то есть всегда один и тот же. Тогда этот список определяет полное упорядочение букв, которое называется отношением предшествования. Обозначается ( предшествует ). На основании отношения предшествования букв построено отношение предшествования слов, определяемое примерно, таким образом, как производится сравнение двух десятичных дробей. Это отношение задаёт полное упорядочение слов в русском алфавите, которое называется лексикографическим упорядочением.

Пример 4.

а) Наиболее известным примером лексикографического упорядочения слов является упорядочение слов в словарях. Например, (так как ), поэтому слово лес расположено в словаре раньше слова лето .

б) Если рассматривать числа в позиционных системах счисления (например, в десятичной системе) как слова в алфавите цифр, то их лексикографическое упорядочение совпадает с обычным, если все сравниваемые числа имеют одинаковое количество разрядов. В общем же случае эти два вида могут не совпадать. Например, и , но , а . Для того, чтобы они совпадали, нужно уравнять число разрядов у всех сравниваемых чисел, приписывая слева нули. В данном примере при этом получим . Такое выравнивание происходит автоматически при записи целых чисел в ЭВМ.

в) Лексикографическое упорядочивание цифровых представлений дат вида 19.07.2004 (девятнадцатое июля две тысячи четвёртого года) не совпадает с естественным упорядочением дат от более ранних к более поздним. Например, дата 19.07.2004 “лексикографически” старше восемнадцатого числа любого года. Чтобы возрастание дат совпадало с лексикографическим упорядочением, обычное представление надо “перевернуть”, то есть записать в виде 2004.07.19. так обычно делают при представлении дат в памяти ЭВМ.

Любое множество 2-списокв или пар называется отношением. Отношения будут особенно полезны при обсуждении значения программ.

Слово «отношение» может означать правило сравнения, «эквивалентность» или «является подмножеством» и т.д. Формально отношения, которые являются множествами 2-списков, могут описать эти неформальные правила точно, путем включения точно тех пар, чьи элементы состоят в нужной связи друг с другом. Например, отношение между символами и 1-строками содержащими эти символы задается следующим отношением:

C = {: x - символ} = {, , …}

Поскольку отношение это множество, пустое отношение также возможно. Например, соответствие между четными натуральными числами и их нечетными квадратами – таких не существует. Более того, операции над множествами применимы к отношениям. Если s и r отношения, то существуют

s È r, s – r, s Ç r

поскольку это множества упорядоченных пар элементов.

Частный случай отношения – функция, отношение со специальным свойством, отличающееся тем, что каждый первый элемент находится в паре с уникальным вторым элементом. Отношение r является функцией, если и только если для любого

Î r и Î r, то y = z.

В таком случае каждый первый элемент может служить именем для второго в контексте отношения. Например, описанное выше отношение C между символами и 1-строками является функцией.

Операции над множествами также применимы к функциям. Хотя результат операции над множествами упорядоченных пар, которые являются функциями, будет обязательно другим множеством упорядоченных пар, а следовательно отношением, но не всегда функцией.

Если f,g –функции, то f Ç g, f – g тоже функции, но f È g, может быть а может и не быть функцией. Например, определим отношение голова

H = {< Θ y, y>: y - строка} = {, , …}

И возьмем отношение C, описанное выше. Тогда из факта, что C Í H:

является функцией,

H - С = {< Θ y, y>: y – строка как минимум из 2 символов}

является отношением, но не функцией,

является пустой функцией, и

является отношением.

Множество первых элементов пар отношения или функции называется областью определения (domain), а множество вторых элементов пар называется областью значений (range). Для элементов отношения, скажем Î r, x называется аргументом r, а у называется значением r.

Когда Î r и и y является единственным значением для x, value-нотация:

читается, как «y является значением r для аргумента x» или, более кратко, «y является значением r для x» (функциональная форма записи).

Зададим произвольное отношение r и аргумент x, тогда существуют три варианта их соответствия:

1. x Ï domain(r), в таком случае r не определено на x
2. x Î domain(r), и существуют различные y, z, такие что Î r и Î r. В этом случае r неоднозначно определено на x
3. x Î domain(r), и существует уникальная пара Î r. В этом случае r однозначно определено на x и y=r(x).

Таким образом, функция – это отношение, которое однозначно определено для всех элементов его области определения.

Выделяют три специальные функции:

Пустая функция {}, не имеет аргументов и значений, то есть

domain({}) = {}, range({}) = {}

Функция эквивалентности (identity function) , функция I такая,

что если x Î domain(r), тогда I(x) = x.

Постоянная функция , область значений которой задается 1-множеством, то есть всем аргументам соответствует одно и то же значение.

Поскольку отношения и функции являются множествами, они могут быть описаны перечислением элементов или заданием правил. Например:

r = {<†ball†, †bat†>, <†ball†, †game†>, <†game†, †ball†>}

является отношением, поскольку все его элементы - 2-списки

domain(r) = {†ball†, †game†}

range (r) = {†ball†, †game†, †bat†}

Однако, r не является функцией, потому что два разных значения встречаются в паре с одним аргументом †ball†.

Пример отношения, определенного с помощью правила:

s = {: слово x непосредственно предшествует слову y

в строке †this is a relation that is not a function†}

Это отношение также может быть задано перечислением:

s = {<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>, <†relation†, †that†>,

<†that†, †is†>, <†is†, †not†>, <†not†, †a†>, <†a†, †function†>}

Следующее правило определяет функцию:

f = {: первый экземпляр слова непосредственно предшествующий слову y

в строке †this is a relation that is also a function†}

которая также может быть задана перечислением:

f = {<†this†, †is†>, <†is†, †a†>, <†a†, †relation†>,

<†relation†, †that†>, <†that†, †is†>, <†also†, †a†>}

Значение программ.

Отношения и функции жизненно необходимы для описания для описания значения программ. Используя эти понятия, разрабатывается нотация для описания значения программ. Для простых программ значение будет очевидным, но эти простые примеры послужат освоению теории в целом.

Новые идеи: box-нотация, программа и значение программы.

Множество пар ввод-вывод для всех возможных нормальных запусков программы называется значением программы. Также может быть использованы понятия функция программы и отношение программы . Важно различать значение программы и элементы значения. Для конкретного входа Паскаль-машина, управляемая Паскаль-программой может произвести конкретный выход. Но значение программы это гораздо больше, чем способ выражения результата одного частного выполнения. Оно выражает все возможные выполнения Паскаль-программы на Паскаль-машине.

Программа может принимать вход разбиты на строки и производить выход разбитый на строки. Таким образом пары в значении программы могут быть парами списков состоящих из строк символов.

Box-нотация.

Любая Паскаль-программа – строка символов, передаваемая для обработки Паскаль-машине. Например:

P = †PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN(‘HELLO’) END.†

Представляет одну из первых программ, рассмотренных в начале части I, в виде строки.

Также эту строку можно записать, опустив маркеры строки, как

P = PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT);

WRITELN(‘HELLO’)

Строка P представляет синтаксис программы, а ее значение мы будем записывать как P. Значение P это множество 2-списков (упорядоченных пар) списков символьных строк, в которых аргументы представляют входные данные программы, а значения представляют выходные данные программы, то есть

P = {: для входного списка строк L, P выполняется корректно

и возвращает список строк M}

Box-нотация для значения программы держит синтаксис и семантику программы, но ясно разграничивает одно от другого. Для программы PrintHello, приведенной выше:

P = { } =

{>: L – любой список строк }

Помещая текст программы в box:

P = PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN(‘HELLO’) END

Поскольку P - функция,

PROGRAM PrintHello (INPUT, OUTPUT); BEGIN WRITELN(‘HELLO’) END (L) = <†HELLO†>

для любого списка строк L.

Box-нотация скрывает способ которым программа управляет Паскаль-машиной и показывает только то что сопутствует выполнению. Термин «черный ящик» часто используется для описания механизма рассматриваемого только извне в терминах входов и выходов. Таким образом эта нотация подходит для значения программы с точки зрения ввода-вывода. Например, программа R

PROGRAM PrintHelloInSteps (INPUT, OUTPUT);

WRITE(‘HE’);

WRITE (‘L’);

WRITELN(‘LO’)

Имеет то же значение что и P, то есть R = P.

Программ R также имеет CFPascal имя PrintHelloInSteps. Но поскольку строка †PrintHelloInSteps† является частью строки R, лучше не использовать PrintHelloInSteps в качетсве названия программы R в box-нотации.

Упражнения.

1) С помощью формулы бинома Ньютона при a = 1, b = i вычислить +++…, +++…, +++…, +++…

2) С помощью формулы Муавра вычислить устно sin 4j и cos 5j .

Лекция 3.

1. СООТВЕТСТВИЯ. ФУНКЦИИ. ОТНОШЕНИЯ. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Определение. Будем говорить, что на множестве Х задано бинарное отношение R , если " x, y Î X мы можем определить (по какому-нибудь правилу) находятся эти элементы в отношении R или нет.

Определим понятие отношения более строго.

Введем понятие декартова (прямого) произведение A´B произвольных множеств A и B.

По определению A´B = { (a, b), a Î A , bÎ B}. Аналогично определяется декартово произведение 3-х, 4-х и произвольного числа множеств. По определению A´A´ …´A = A n .

Определения .

1. Соответствием S из множества A в множество B называется подмножество S Í A´B. Тот факт, что элементы aÎ A, bÎ B находятся в соответствии S, мы будем записывать в виде (a, b) Î S или в виде aSb.

2. Естественным образом для соответствий S 1 и S 2 определяются S 1 ∩S 2 и S 1 U S 2 – как пересечение и объединение подмножеств. Как и для любых подмножеств определяется понятие включения соответствий S 1 Í S 2 . Так S 1 Í S 2 Û

из a S 1 b Þ a S 2 b.

3. Для соответствий S 1 Í A´B и S 2 Í B´C определим композицию соответствий S 1 *S 2 Í A´С. Будем считать, что для элементов aÎ A, сÎ С по определению a S 1 *S 2 с Û $ bÎ B такой, что a S 1 b и b S 2 с.

4. Для соответствия S Í A´B определим соответствие

S -1 Í B´A так: по определению bS -1 a Û a S b.

5. Пусть по определению соответствие D A Í A´A,

D A ={(a,a), aÎ A}.

6. Соответствие F из множества A в множество B называется функцией, определенной на A, со значениями в B (или отображением из A в B ), если " aÎ A $! bÎ B такой, что aFb. В этом случае будем писать также aF = b или, более привычно, Fa = b. В этом определении функция отождествляется со своим графиком. В наших обозначениях aF 1 *F 2 с можно записать в виде с = (aF 1)F 2 . Композиция F 2 F 1 функций означает по определению, что (F 2 F 1)(a)= F 2 (F 1 (a)). Таким образом, F 2 F 1 = F 1 *F 2 .

7. Для отображения F из A в B образом подмножества A 1 Í A

называется подмножество F(A 1)= {F(a)| aÎ A 1 } Í B, а прообразом подмножества B 1 Í B называется подмножество

F -1 (B 1)= { aÎ A | F(a) Î B 1 } Í A .

8. Отображение F из A в B называется инъекцией , если из

a 1 ¹ a 2 Þ Fa 1 ¹ Fa 2 .

9. Отображение F из A в B называется сюръекцией , если

" bÎ B $ aÎ A такой, что Fa = b.

10. Отображение F из A в B называется биекцией или взаимнооднозначным отображением , если F – инъекция и сюръекция одновременно.

11. Биекция конечного (а иногда и бесконечного) множества называется подстановкой .

12. Бинарным отношением на множестве Х называется подмножество R Í X´X. Тот факт, что элементы x, y Î X находятся в отношении R, мы будем записывать в виде (x, y) Î R или в виде xRy.

функция ". Начнем с частного, но важного случая функций, действующих из в .

Если мы понимаем, что такое отношение , то понять, что такое функция совсем просто. Функция – это частный случай отношения. Каждая функция является отношением, но не каждое отношение является функцией. Какие же отношения являются функциями? Какое дополнительное условие должно выполняться, чтобы отношение являлось функцией?

Вернемся к рассмотрению отношения , действующего из области определения в область значений . Рассмотрим элемент из . Этому элементу соответствует в элемент , такой, что пара принадлежит , что часто записывают в виде: (например, ). Отношению могут принадлежать и другие пары, первым элементом которых может выступать элемент . Для функций такая ситуация невозможна.

Функция – это отношение , в котором элементу из области определения соответствует единственный элемент из области значений.

Отношение "иметь брата", представленное на рис.1, функцией не является. Из точки в области определения идут две дуги в разные точки области значений, следовательно это отношение функцией не является. Содержательно, Елена имеет двух братьев, так что однозначного соответствия между элементом из и элементом из нет.

Если же рассмотреть отношение на тех же множествах "иметь старшего брата", то такое отношение функцией является. У каждого человека братьев может быть много, но только один из них является старшим братом. Функциями являются и такие родственные отношения как "отец" и "мать".

Обычно, когда речь идет о функциях, то для общего обозначения функции используется буква , а не , как в случае отношений, и общая запись имеет привычный вид: .

Рассмотрим хорошо известную функцию . Областью определения этой функции является вся действительная ось: . Область значений функции замкнутый интервал на действительной оси: . График этой функции синусоида, каждой точке на оси соответствует единственная точка графика .

Взаимно однозначная функция

Пусть отношение задает функцию . Что можно сказать об обратном отношении ? Является ли оно также функцией? Совсем не обязательно. Рассмотрим примеры отношений, являющихся функциями.

Для отношения "имеет старшего брата" обратное отношение – это отношение "имеет брата или сестру". Конечно же, это отношение функцией не является. У старшего брата может быть много сестер и братьев.

Для отношений "отец" и "мать" обратным отношением является отношение "сын или дочь", которое также не является функцией, поскольку детей может быть много.

Если рассмотреть функцию , то обратное отношение функцией не является, поскольку одному значению соответствует сколь угодно много значений . Чтобы рассматривать