Сложение пар в технической механике. Теорема о сложении пар сил. Условие равновесия системы пар сил. На тело действует система параллельных сил. Расположим ось Oz параллельно силам
Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
Забайкальский государственный университет
Кафедра теоретической механики
Р Е Ф Е Р А Т
По теме: «Эквивалентность пар сил в пространстве и на плоскости, их сложение и условие равновесия»
Студент: Садилов И.А.
Группа: СУС-13-2
Преподаватель: Геллер Ю.А.
г.Чита, 2014 г.
Что такое пара сил…………………………………………………3
Теорема о сумме моментов пары сил…………………………….3
Теорема об эквивалентности пар сил……………………………4
Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость…….5
Теорема о сложении пар сил…………………………………….8
Условия равновесия пар сил……………………………………..8
Выводы…………………………………………………………….9
Список используемой литературы………………………………10
ПАРА СИЛ
Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.
Плоскостью действия пары сил называется плоскость в которой расположены эти силы.
Плечом пары сил d называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.
Моментом
пары
сил
называется
вектор
,
модуль которого равен произведению
модуля одной из сил пары на ее плечо и
который направлен перпендикулярно
плоскости действия сил пары в ту сторону,
откуда пара видна стремящейся повернуть
тело против хода часовой стрелки. 
Теорема о сумме моментов пары сил. Сумма моментов сил, входящих в состав пары, относительно любой точки не зависит от выбора этой точки и равна моменту этой пары сил.
Доказательство: Выберем произвольно точку О. Проведем из нее в точки А и В радиус-векторы (Смотри Рис. 4.2).
, 
Ч
то
и требовалось доказать.
Две пары сил называются эквивалентными , если их действие на твердое тело одинаково при прочих равных условиях.
Теорема об эквивалентности пар сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с первой парой момент.
.
П
еренесем
силу
в точку
,
а силу
в точку
.
Проведем через точки
две любые параллельные прямые,
пересекающие линии действия сил пары.
Соединим точки
отрезком прямой и разложим силы
в
точке
и
в точке
по правилу параллелограмма.
Так как
,
то
и
Поэтому
эквивалентна системе
,
а эта система эквивалентна системе
,
так как
эквивалентна нулю.
Таким образом мы
заданную пару сил
заменили другой парой сил
.
Докажем, что моменты у этих пар сил
одинаковы.
Момент исходной
пары сил
,
а момент пары сил
численно равен площади параллелограмма
.
Но площади этих параллелограммов
равны, так как площадь треугольника
равна площади треугольника
.
Что и требовалось доказать.
Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость . Действие пары сил на твердое тело не изменится от переноса этой пары в параллельную плоскость.
Доказательство:
Пусть на твердое тело действует пара
сил
в плоскости
.
Из точек приложения сил А и В опустим
перпендикуляры на плоскость
и в точках их пересечения с плоскостью
приложим две системы сил
и
,
каждая из которых эквивалентна нулю.
С
ложим
две равные и параллельные силы
и
.
Их равнодействующая
в точке О.
Сложим две равные
и параллельные силы
и
.
Их равнодействующая
параллель-на этим силам, равна их сумме
и приложена посредине отрезка
в точке О.
Так как
,
то система сил
эквивалентна нулю и ее можно отбросить.
Таким образом
пара сил
эквивалентна паре сил
,
но лежит в другой, параллельной плоскости.
Что и требовалось доказать.
Следствие: Момент пары сил, действующий на твердое тело, есть свободный вектор.
Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, эквивалентны, если они имеют одинаковые по модулю и направлению моменты.
Теорема о
сложении пар сил.
Две пары
сил, действующих на одно и то же твердое
тело, и лежащие в пересекающихся
плоскостях, можно заменить одной
эквивалентной парой сил, момент которой
равен сумме моментов заданных пар
сил. 
Доказательство:
Пусть имеются две пары сил, расположенные
в пересекающихся плоскостях. Пара сил
в плоскости
характеризуется моментом
,
а пара сил
в плоскости
характеризуется моментом
.
Расположим пары
сил так, чтобы плечо пар было общим и
располагалось на линии пересечения
плоскостей. Складываем силы, приложенные
в точке А и в точке В,
.
Получаем пару сил
.
Что и требовалось доказать.
Условия равновесия пар сил
Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.
Условия равновесия системы сил
Векторная форма
Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю.
Алгебраическая форма.
Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.
Условия равновесия пространственной системы
параллельных сил
На тело действует система параллельных сил. Расположим ось Oz параллельно силам.
Уравнения
Для равновесия пространственной системы параллельных сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил была равна нулю и суммы моментов этих сил относительно двух координатных осей, перпендикулярным силам, также были равны нулю.
- проекция силы на ось Oz.
Выводы:
Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия.
У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент пары и плоскость действия.
3.момент пары является свободным вектором и полностью определяет действие пары на абсолютно твердое тело. Для деформируемых тел теория пар неприменима.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Кирсанов М.Н Теоретическая механика. Учебник для самоподготовки.
2.Тарг С.М Курс по Теоретической Механике.
Основные свойства пары характеризуются следующими тремя теоремами.
Теорема I. Пара сил не имеет равнодействующей.
Это значит, что при F 1 =F 2 равнодействующая не существует .
Из этой теоремы следует, что пара сил не может быть уравновешена одной силой; пара сил может быть уравновешена только парой .
Теорема II. Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости действия пары есть величина постоянная, равная моменту пары .
Из этой теоремы следует, что при любом центре моментов пара сил войдет в уравнение моментов с одним и тем же знаком и одной и той же величиной.
Теорема III . Алгебраическая сумма проекций сил пары на ось всегда равна нулю.
Из этой теоремы следует, что пара сил не входит ни в уравнение сил, ни в уравнение проекций сил.
- Векторный момент силы относительно точки. Свойства момента. Векторный момент пары сил, свойства момента.
Теорема о сложении пар
Теорема . Всякая плоская система пар эквивалента одной результирующей паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар.
- Эквивалентные пары сил. Векторный момент пары сил. Условие равновесия пар сил.
Эквивалентные пары
Две пары называются эквивалентными , если одну из них можно заменить другой, не нарушая механического состояния свободного твердого тела.
Теорема об эквивалентных парах формулируется так: если моменты двух пар алгебраически равны, то эти пары эквивалентны.
Из доказанной теоремы об эквивалентных парах вытекает четыре следствия:
1. не изменяя механического состояния тела, пару можно
перемещать как угодно в плоскости ее действия;
2. не изменяя механического состояния тела, можно менять
силы и плечо пары, но так, чтобы ее момент остаются неизменным;
3. чтобы задать пару, достаточно задать ее момент, поэтому иногда слово «пара» заменяют словом «момент» и условно изображают его так, как показано на рис. 4.6;
4. условия равновесия плоской системы параллельных сил будут справедливы, если вместе с такой системой действуют и пары сил, так как их можно повернуть в плоскости действия и поставить силы пары параллельно другим силам системы.
Условие равновесия плоской системы пар
Применяя доказанную в предыдущем параграфе теорему к плоской системе пар, находящейся в равновесии, запишем
Поэтому условие равновесия плоской системы пар в общем виде будет выглядеть так:
а формулируется следующим образом: для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов данных пар равнялась нулю/
- Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Три формы.
Различные случаи приведения плоской системы произвольно расположенных сил
Изучив свойства главного вектора и главного момента, укажем четыре возможных случая приведения плоской системы произвольно расположенных сил:
1. F гл ≠0, М гл ≠0, т. е. главный вектор и главный момент
не равны нулю. В этом случае система сил эквивалентна
равнодействующей, которая равна по модулю главному век
тору, параллельна ему, направлена в ту же сторону, но по
другой линии действия (см. § 5.3, п. 3).
2. F гл ≠0, М гл =0. В этом случае система сил эквивалентна
равнодействующей, линия действия которой проходит через
центр приведения и совпадает с главным вектором.
3. F гл =0, М гл ≠0. В этом случае система эквивалентна
паре. Так как модуль и направление главного вектора во
всех случаях не зависят от выбора центра приведения, то
в рассматриваемом случае величина и знак главного момента
тоже не зависят от центра приведения, ибо одна и та же
система сил не может быть эквивалентна различным парам.
4. F гл =0, М гл =0. В этом случае система сил эквивалентна
нулю, т. е. находится в равновесии.
Просмотр: эта статья прочитана 24574 раз
Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский
Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык
Обзор
Какое-либо кинематическое состояние тел, имеющих точку или ось вращения, можно описать моментом силы, характеризующим вращательный эффект действия силы.
Момент силы относительно центра - это векторное произведение радиус - вектора точки приложения силы на вектор силы.
Плечо силы - кратчайшее расстояние от центра до линии действия силы (перпендикуляр из центра на линию действия силы).
Вектор направляется по правилу векторного произведения: момент силы относительно центра (точки) как вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены сила и центр так, чтобы с его конца было видно, что сила пытается вращать тело вокруг центра против хода часовой стрелки.
Единицей измерения момента силы есть 1
Момент силы относительно центра в плоскости - алгебраическая величина, которая равняется произведению модуля силы на плечо относительно того же центра с учетом знака.
Знак момента силы зависит от направления, в котором сила пытается вращать вокруг центра:
- против хода часовой стрелки -„−” (отрицательный)
- по часовой стрелке -„+” (положительный);
Свойства момента силы относительно центра (точки ).
- Модуль момента силы относительно точки равняется удвоенной площади треугольнику построенного на векторах.
- Момент силы относительно точки не изменяется при перенесении силы вдоль ее линии действия, поскольку неизменным остается плечо силы.
- Момент силы относительно центра (точки) равняется нулю, если:
- сила равняется нулю F = 0;
- плечо силы h = 0, т.е. линия действия силы проходит через центр.
Теорема Вариньона (о моменте равнодействующей).
Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно какого-либо центра равняется алгебраической сумме моментов составляющих сил системы относительно того же центра.
Теория пар сил
Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону.
Равнодействующая системы двух параллельных сил направленных в одну сторону равняется по модулю сумме модулей составляющих сил, параллельна им и направлена в том же направлении.
Линия действия равнодействующей проходит между точками приложения составляющих на расстояниях от этих точек, обратно пропорциональных к силам
Сложение двух параллельных сил, направленных в разные стороны (случай сил разных по модулю)
Равнодействующая двух параллельных, неравных по модулю, противоположно направленных сил параллельна им и направлена в направлении большей силы и по модулю равняется разности составляющих сил.
Линия действия равнодействующей проходит за пределами отрезка (со стороны большей силы), соединяющего точки их приложения, и отстоит от них на расстояния, обратно пропорциональные силам.
Пара сил - система двух параллельных, равных по модулю и противоположных по направлению сил, приложенных к абсолютно твердому телу.
Плечо пары сил - расстояние между линиями действия сил пары, т.е. длина перпендикуляра, проведенного из произвольной точки линии действия одной из сил пары на линию действия второй силы.
Плоскость действия пары сил
- это плоскость, в которой расположены линии действий сил пары.
Действие пары сил сводится к вращательному движению, которое определяется моментом пары.
Моментом пары называется вектор с такими признаками:
- он перпендикулярен плоскости пары;
- направлен в ту сторону, откуда вращение, которое осуществляет пара, видно против часовой стрелки;
- его модуль равняется произведению модуля одной из сил пары на плечо пары с учетом знака
Знак момента пары сил:
- „+” - вращение против часовой стрелки
- „-„ - вращение по часовой стрелке
Момент пары сил равняется произведению модуля одной из сил пары на плечо пары.
Момент пары - свободный вектор - для него ни точка приложения, ни линия действия не обозначены, они могут быть произвольными.
Свойство момента пары сил: момент пары равняется моменту одной из сил относительно точки приложения второй силы.
Теоремы о паре сил
Теорема 1. Пара сил не имеет равнодействующей, т.е. пару сил нельзя заменить одной силой.
Теорема 2. Пара сил не является системой уравновешенных сил.
Следствие : пара сил, действующая на абсолютно твердое тело, старается вращать его.
Теорема 3. Сумма моментов сил пары относительно произвольного центра (точки) в пространстве является величиной неизменной и представляет собой вектор-момент этой пары.
Теорема 4. Сумма моментов сил, которые составляют пару, относительно произвольного центра в плоскости действия пары не зависит от центра и равняется произведению силы на плечо пары с учетом знака, т.е. самому моменту пары.
Теорема 5 - об эквивалентности пар. Пары сил, моменты которых равны численно и по знаку, являются эквивалентными. Т.е. пару сил можно заменить или уравновесить только другой эквивалентной парой сил.
Теорема 6 - об уравновешенности пары сил. Пара сил составляет уравновешенную систему сил тогда и только тогда, когда момент пары равняется нулю.
Теорема 7 - о возможностях перемещения пары сил в плоскости ее действия. Пара сил, полученная перемещениям пары в любое место в плоскости ее действия, эквивалентна предоставленной паре.
Теорема 8 - о добавлении пар сил в плоскости. Момент пары, эквивалентной предоставленной системе пар в плоскости, равняется алгебраической сумме моментов составляющих пар. Т.е. для сложения пар сил необходимо сложить их моменты.
Условия равновесия системы пар сил.
Пары сил в плоскости уравновешиваются в том случае, если алгебраическая сумма их моментов равняется нулю.
Язык: русский, украинский
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.
Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.
Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается
Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается
Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы
Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Пример решение задачи на определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Пример решения задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело.
Теорема о сложении пар сил . Две пары сил, действующих на одно и то же твердое тело, и лежащие в пересекающихся плоскостях, можно заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
Доказательство: Пусть имеются две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях. Пара сил в плоскости характеризуется моментом, а пара сил в плоскости характеризуется моментом.Расположим пары сил так, чтобы плечо пар было общим и располагалось на линии пересечения плоскостей. Складываем силы, приложенные в точке А и в точке В, . Получаем пару сил.
Условия равновесия пар сил.
Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необхо-димо и достаточно, чтобы момент эквивалентной пары сил равнялся нулю.
Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.
20.динамические дифференциальные уравнения относительно движения материальной точки. Динамическая теорема Кориолиса
Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки.
Для вывода уравнений воспользуемся второй и четвертой аксиомами динамики. Согласно второй аксиоме ma = F (1)
где, по четвертой аксиоме, F является равнодействующей всех сил, приложенных к точке.
С учетом последнего замечания выражение (1) часто называют основным уравнением динамики. По форме записи оно представляет собой второй закон Ньютона, где одна сила, согласно аксиоме независимости действия сил, заменена равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке. Вспомнив, что a = dV / dt = d2r / dt = r"", получаем из (1) дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме: mr"" = F (2)
дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки .
Согласно аксиоме связей, заменив связи их реакциями, можно рассматривать несвободную материальную точку, как свободную, находящуюся под действием активных сил и реакций связей.согласно четвертой аксиоме динамики, F будет равнодействующей активных сил и реакций связей.
Поэтому дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки можно использовать для описания движения несвободной точки, помня о том, что проекции сил на прямоугольные оси Fx, Fy, Fz в уравнениях (4) и проекции сил на естественные оси Fτ, Fn, Fb в уравнениях (6) включают в себя не только проекции активных сил, но и проекции реакций связей.
Наличие реакций связей в уравнениях движения точки естественно усложняет решение задач динамики, так как в них появляются дополнительные неизвестные. Для решения задач нужно знать свойства связей и иметь уравнения связей, которых должно быть столько, сколько реакций связей.
Сила Кориолиса равна:
где m - точечная масса, w - вектор угловой скорости вращающейся системы отсчёта, v- вектор скорости движения точечной массы в этой системе отсчёта, квадратными скобками обозначена операция векторного произведения.
Величина называется кориолисовым ускорением.
Си́лаКориоли́са - одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения
Аксиома о условии эквивалентности пар сил в пространстве. Заместо вектора момента каждой пары сил, перпендикулярного плоскости чертежа, указывают лишь направление, в каком пара сил стремится вращать эту плоскость.
Пары сил в пространстве эквивалентны, ежели их моменты геометрически равны. Не изменяя деяния пары сил на жесткое тело, пару сил можно переносить в всякую плоскость, параллельную плоскости деяния пары, также изменять ее силы и плечо, сохраняя постоянным модуль и направление ее момента. Таковым образом, вектор момента пары сил можно переносить в всякую точку, т. е. момент пары сил является вольным вектором. Вектор момента пары сил описывает все три ее элемента: положение плоскости деяния пары, направление вращения и числовое значение момента. Разглядим сложение 2-ух пар сил, расположенных в пересекающихся плоскостях, и докажем последующую аксиому: геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной им пары. Пусть требуется сложить две пары сил, расположенные в пересекающихся плоскостях I и II имеющие моменты 
Рис. 34 Выбрав силы этих пар равными по модулю
определим плечи этих пар:
Расположим эти пары сил таковым образом, чтоб силы были ориентированы по полосы пересечения плоскостей KL в противоположные стороны и уравновешивались. Оставшиеся силы образуют пару сил, эквивалентную данным двум парам сил. Эта пара сил имеет плечо ВС = d и момент, перпендикулярный плоскости деяния пары сил, равный по модулю М= Pd.
Геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной пары. Потому что момент пары сил является вольным вектором, перенесем моменты составляющих пар сил в точку В и сложим их, построив на этих моментах параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма
представляет собой момент эквивалентной пары Отсюда следует, что вектор т. е. геометрическая сумма моментов составляющих пар сил равна моменту эквивалентной им пары сил:
Таковой метод сложения моментов пар сил именуется правилом параллелограмма моментов. Построение параллелограмма моментов можно заменить построением треугольника моментов.
Применяя построение параллелограмма либо треугольника моментов, можно решить и обратную задачку, т. е. разложить всякую пару сил на две составляющие. Пусть требуется сложить несколько пар сил, расположенных произвольно в пространстве (рис. 35). Определив моменты этих пар, их можно перенести в всякую точку О места. Складывая поочередно моменты этих пар сил, можно выстроить многоугольник моментов пар, замыкающая сторона которого определит момент эквивалентной им пары сил. На (рис. 35) показано построение многоугольника моментов при сложении 3-х пар.
Момент пары сил, сил, эквивалентной данной системе пар сил в пространстве, равен геометрической сумме моментов составляющих пар сил:
или
Плоскость I деяния данной пары сил перпендикулярна направлению ее момента
Ежели момент эквивалентной пары сил равен нулю, то пары сил взаимно уравновешиваются:
Таковым образом, условие равновесия пар сил, произвольно расположенных в пространстве, можно сконструировать так: пары сил, произвольно расположенные в пространстве, взаимно уравновешиваются в этом случае, ежели геометрическая сумма их моментов равна нулю. Ежели пары сил размещены в одной плоскости (рис. 36), то моменты этих пар сил, направленные по одной прямой, складываются алгебраически. 
