Свойства и законы арифметических действий. Законы арифметических действий презентация к уроку по алгебре (5 класс) на тему. Умножение взаимообратных чисел

Подход к сложению целых неотрицательных чисел позволяет обосновать известные законы сложения: переместительный и сочетательный.

Докажем сначала переместительный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а и b выполняется равенство a + b= b + а.

Пусть а -- число элементов в множестве А, Ь -- число элементов в множестве В и А В=0. Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел а + b есть число элементов объединения множеств А и В: а + Ь = п (А//В). Но множество А В равно множеству В A согласно переместительному свойству объединения множеств, и, Значит, п(АU В) = п(В U А). По определению суммы п(ВиА) = Ь + а, поэтому a+b=b+a для любых целых неотрицательных чисел а и Ь.

Докажем теперь сочетательный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с выполняется равенство (a + b)+c = a + (b + c).

Пусть а = п(А), Ь = п(В), с = п(С), причем АUВ=0, ВUС=0 Тогда по определению суммы двух чисел можно записать (а+ Ь)+ с = п(А//)В) + п(С) = п((АUВUС).

Так как объединение множеств подчиняется сочетательному закону, то n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). Откуда по определению суммы двух чисел имеем п (А J(BUC))=n (А) + п (BU C) = a + (b + с). Следовательно, (а+ Ь)+ с -- a+(b + с) для любых целых неотрицательных чисел a, b и с.

Каково назначение сочетательного закона сложения? Он объясняет, как можно находить сумму трех слагаемых: для этого достаточно сложить первое слагаемое со вторым и к полученному числу прибавить третье слагаемое или прибавить первое слагаемое к сумме второго и третьего. Заметим, что сочетательный закон не предполагает перестановки слагаемых.

И переместительный и сочетательный законы сложения могут быть обобщены на любое число слагаемых. При этом переместительный закон будет означать, что сумма не изменяется при любой перестановке слагаемых, а сочетательный -- что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка).

Из переместительного и сочетательного законов сложения вытекает, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.

Вычислим, используя законы сложения, значение выражения 109 + 36+ 191 +64 + 27.

На основании переместительного закона переставим слагаемые 36 и 191. Тогда 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.

Воспользуемся сочетательным законом, сгруппировав слагаемые, а затем найдем суммы в скобках: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

Применим еще раз сочетательный закон, заключив в скобки сумму чисел 300 и 100: 300+ 100 + 27 =(300+ 100) + 27.

Произведем вычисления: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.

С переместительным свойством сложения учащиеся начальных классов знакомятся при изучении чисел первого десятка. Сначала оно используется при составлении таблицы сложения однозначных чисел, а затем для рационализации различных вычислений.

Сочетательный закон сложения в начальном курсе математики в явном виде не изучается, но постоянно используется. Так, он является основой приема прибавления числа по частим: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Кроме того, в тех случаях, когда надо прибавить число к сумме, сумму к числу, сумму к сумме, сочетательный закон используется в сочетании с переместительным. Например, прибавлять сумму 2+1 к числу 4 предлагается следующими способами:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Проанализируем эти способы. В случае 1 вычисления выполнены в соответствии с указанным порядком действий. В случае 2 применено сочетательное свойство сложения. Вычисления же в последнем случае опираются па переместительный и сочетательный законы сложения, причем промежуточные преобразования опущены. Они таковы. Сначала на основании переместительного закона переставили местами слагаемые 1 и 2: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Затем воспользовались сочетательным законом: 4 + (1 +2) =(4+ 1) + 2. И, наконец, произвели вычисления согласно порядку действий (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7.

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа

Обоснуем известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Правило вычитания числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Запишем это правило, используя символы: Если а, Ь, с -- целые неотрицательные числа, то:

а) при а>с имеем, что (а+Ь) -- с = (а -- с)+Ь;

б) при Ь>с имеем, что (a+b) -- c==a + (b -- с);

в) при а>с и Ь>с можно использовать любую из данныхформул.

Пусть а >с, тогда разность а --с существует. Обозначим ее через р: а -- с =р. Отсюда а = р+с. Подставим сумму р+-с вместо а в выражение (а+Ь) -- с и преобразуем его: (а + 6) --с = (р + c+b) -- c = p+b+-c -- c = p+b

Но буквой р обозначена разность а --с, значит, имеем (а+Ь) -- -- с = (а -- с)+Ь, что и требовалось доказать.

Аналогично проводятся рассуждения и для других случаев. Приведем теперь иллюстрацию данного правила (случай «а») при помощи кругов Эйлера. Возьмем три конечных множества А, В и С, такие, что п(А) = а, п(В) = Ь, п(С) = с и AUB=0, СUА. Тогда {a+b) -- с есть число элементов множества (AUB)C, а число (а -- с)+Ь есть число элементов множества {АС)UВ. На кругах Эйлера множество (АUВ)С изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке.

Легко убедиться в том, что множество (АС)UВ изобразится точно такой же областью. Значит, (AUB)C = (AC)UB для данных

множеств А, В и С. Следовательно, п((АUВ)С) = п((АС)UВ)и (а + Ь)-- с -- (а -- с)+Ь.

Аналогично можно проиллюстрировать и случай «б».

Правило вычитания из числа суммы. Чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т. е. если а, Ъ, с -- целые неотрицательные числа, то при а>Ь+с имеем а--(Ь+с) = (а -- Ь)--с.

Обоснование этого правила и его теоретико-множественная иллюстрация выполняются так же, как и для правила вычитания числа из суммы.

Приведенные правила рассматриваются в начальной школе на конкретных примерах, для обоснования привлекаются наглядные изображения. Эти правила позволяют рационально выполнять вычисления. Например, правило вычитания из числа суммы лежит в основе приема вычитания числа по частям:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

Смысл приведенных правил хорошо раскрывается при решении арифметических задач различными способами. Например, задача «Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок. 6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должно еще вернуться?» может быть решена тремя способами:

/ способ. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22

// способ. 1. 20 -- 6=14 2. 14 + 8 = 22

III способ. 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22

Законы умножения

Докажем законы умножения, исходя из определения произведения через декартово произведение множеств.

1. Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел а и Ъ справедливо равенство a*b = b*a.

Пусть а = п(А), Ь = п(В). Тогда по определению произведения а*Ь = п{А*В). Но множества А*В н В*А равномощны: каждой паре (а, Ь) из множества АХВ можно поставить в соответствие единственную пару (Ь, а) из множества ВхА, и наоборот. Значит, п(АХВ) = п(ВхА), и поэтому a-b = n {AXB) = n (BXA) = b-а.

2. Сочетательный закон: для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо равенство (а* Ь) *с = а* (Ь*с).

Пусть а = п(А), b = п (В), с = п (С). Тогда по определению произведения {a-b)-c = n((AXB)XQ, a a-(b -c) = n (AX(BXQ). Множества (АхВ)ХС и А X {ВХ Q различны: первое состоит из пар вида ((а, Ь), с), а второе -- из пар вида (а, (Ь, с)), где аЈА, ЬЈВ, сЈС. Но множества (АХВ)ХС и АХ(ВХС) равномощны, так как существует взаимно однозначное отображение одного множества на другое. Поэтому п{(АХВ) *С) = п {А*(В*С)), и, значит, (а*Ь) *с = а* (Ь*с).

3. Распределительный закон умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо равенство (a +b) x c = ac+ be.

Пусть а -- п (А), Ь = п (В), с = п(С)и АUВ= 0. Тогда по определению произведения имеем (a+b) x c = n ((AUB) * C. Откуда на основании равенства (*) получаем п ((А UВ) * С) = п((А * С)U(В* С)), и далее по определению суммы и произведения п ((А * С)U(В* С)) -- = п(А*С) + п(В*С) = ас + Ьс.

4. Распределительный закон умножения относительно вычитания: для любых целых неотрицательных чисел a, b и с и a^b справедливо равенство (а -- Ь)с = = ас -- Ьс.

Этот закон выводится из равенства (АВ) *С = (А *С)(В*С) и доказывается аналогично предыдущему.

Переместительный и сочетательный законы умножения можно распространить на любое число множителей. Как и при сложении, эти законы часто используются совместно, т. е. произведение нескольких множителей не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.

Распределительные законы устанавливают связь умножения со сложением и вычитанием. На основе этих законов происходит раскрытие скобок в выражениях типа (а+Ь)с и (а -- Ь) с, а также вынесение множителя за скобки, если выражение имеет вид ас --be или

В начальном курсе математики изучается переместительное свойство умножения, оно формулируется так: «От перестановки множителей произведение не изменится» -- и широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел. Сочетательный закон в начальной школе в явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительный при умножении числа на произведение. Происходит это следующим образом: учащимся предлагается рассмотреть различные способы нахождения значения выражения 3* (5*2) и сравнить полученные результаты.

Приводятся случаи:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

Первый из них основан на правиле порядка действий, второй -- на сочетательном законе умножения, третий -- на переместительном и сочетательном законах умножения.

Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.

Правила деления суммы на число и числа на произведение

Познакомимся с некоторыми свойствами деления натуральных чисел. Выбор этих правил определен содержанием начального курса математики.

Правило деления суммы на число. Если числа а и Ь делятся на число с, то и их сумма а + Ь делится на с; частное, получаемое при делении суммы а+Ь на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и Ъ на с, т. е.

(а + Ь): с = а: с + b: с.

Доказательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число т = а:с, что а = с-т. Аналогично существует такое натуральное число п -- Ь:с, что Ь = с-п. Тогда а+Ь = = c-m + c-/2 = c-(m + n). Отсюда следует, что а+Ь делится на с и частное, получаемое при делении а+Ь на число с, равно т+п, т. е. а:с+Ь:с.

Доказанное правило можно истолковать с теоретико-множественных позиций.

Пусть а = п{А), Ь = п(В), причем АГВ=0. Если каждое из множеств А и В можно разбить на с равномощных подмножеств, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение.

При этом если в каждом подмножестве разбиения множества А содержится а:с элементов, а в каждом подмножестве множества В содержится Ь:с элементов, то в каждом подмножестве множества А[)В содержится а:с+Ь:с элементов. Это и значит, что (а + Ь): с = а: с + Ь: с.

Правило деления числа на произведение. Если натуральное число а делится на натуральные числа Ъ и с, то, чтобы разделить а на произведение чисел Ъ и с, достаточно разделить число а на b (с) и полученное частное разделить на с (Ь): а:(Ь * с) --(а: Ь): с = (а:с): Ь Доказательство. Положим (а:Ь):с = х. Тогда по определению частного а:Ь = с-х, отсюда аналогично а -- Ь-(сх). На основании сочетательного закона умножения а = (Ьс)-х. Полученное равенство означает, что а:(Ьс) = х. Таким образом, a:(bc) = (a:b):c.

Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т. е.

a-(b:c) = (a-b):c.

Применение сформулированных правил позволяет упростить вычисления.

Например, чтобы найти значение выражения (720+ 600): 24, достаточно разделить на 24 слагаемые 720 и 600 и полученные частные сложить:

(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. Значение выражения 1440:(12* 15) можно найти, разделив сначала 1440 на 12, а затем полученное частное разделить на 15:

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Указанные правила рассматриваются в начальном курсе математики на конкретных примерах. При первом знакомстве с правилом деления суммы 6 + 4 на число 2 привлекаются иллюстративный материал. В дальнейшем это правило используется для рационализации вычислений. Правило деления числа на произведение широко применяется при делении чисел, оканчивающихся нулями.

Тема № 1.

Действительные числа.Числовые выражения. Преобразование числовых выражений

I. Теоретический материал

Основные понятия

· Натуральные числа

· Десятичная запись числа

· Противоположные числа

· Целые числа

· Обыкновенная дробь

· Рациональные числа

· Бесконечная десятичная дробь

· Период числа, периодическая дробь

· Иррациональные числа

· Действительные числа

· Арифметические действия

· Числовое выражение

· Значение выражения

· Обращение десятичной дроби в обыкновенную

· Обращение обыкновенной дроби в десятичную

· Обращение периодической дроби в обыкновенную

· Законы арифметических действий

· Признаки делимости

Числа, употребляемые при счете предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными . Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись чисел называют десятичной.

Например : 24; 3711; 40125.

Множество натуральных чисел принято обозначать N .

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами.

Например , числа 7 и – 7.

Числа натуральные, им противоположные, а также число нуль составляют множество целых Z .

Например : – 37; 0; 2541.

Число вида , где m – целое число, n – натуральное число, называется обыкновенной дробью . Заметим, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

Например : , .

Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел. Его принято обозначать Q .

Например : ; – 17,55; .

Пусть дана десятичная дробь. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число нулей.

Например : 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .

Такая десятичная дробь называется бесконечной десятичной дробью.

Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в записи числа называется периодом , а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической . Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки.

Например : 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).

2,73000… = 2,73(0).

Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.

Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел. Его принято обозначать R .

Например : ; 0,(23); 41,3574…

Число является иррациональным.

Для всех чисел определены действия трёх ступеней:

· действия I ступени: сложение и вычитание;

· действия II ступени: умножение и деление;

· действия III ступени: возведение в степень и извлечение корня.

Выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называется числовым.

Например : ; .

Число, полученное в результате выполнения действий, называется значением выражения .

Числовое выражение не имеет смысла , если содержит деление на нуль.

При нахождении значения выражения выполняются последовательно действия III ступени, II ступени и в конце действия I ступени. При этом необходимо учитывать размещение в числовом выражении скобок.

Преобразование числового выражения заключается в последовательном выполнении арифметических действий над входящими в него числами с использованием соответствующих правил (правило сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножения десятичных дробей и др.). Задания на преобразование числовых выражений в учебных пособиях встречаются в следующих формулировках: «Найдите значение числового выражения», «Упростите числовое выражение», «Вычислите» и др.

При нахождении значений некоторых числовых выражений приходится выполнять действия с дробями разного вида: обыкновенными, десятичными, периодическими. В этом случае бывает необходимо обратить обыкновенную дробь в десятичную или выполнить обратное действие – заменить периодическую дробь обыкновенной.

Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную , достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр находится справа от запятой.

Например : ; .

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную , надо разделить ее числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

Например : ;

;

.

Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную , надо:

1) из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода;

2) записать эту разность числителем;

3) в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде;

4) дописать в знаменателе столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Например : ; .

Законы арифметических действий над действительными числами

1. Переместительный (коммутативный) закон сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется:

2. Переместительный (коммутативный) закон умножения: от перестановки множителей значение произведения не меняется:

3. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой:

4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением:

.

5. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения:

Свойства 6 – 10 называют законами поглощения 0 и 1.

Признаки делимости

Свойства, позволяющие в некоторых случаях, не производя деление, определить, делится ли одно число на другое, называются признаками делимости .

Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда запись числа оканчивается на четную цифру. То есть на 0, 2, 4, 6, 8.

Например : 12834; –2538; 39,42.

Признак делимости на 3 . Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Например : 2742; –17940.

Признак делимости на 4 . Число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Например : 15436; –372516.

Признак делимости на 5 . Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Например : 754570; –4125.

Признак делимости на 9 . Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например : 846; –76455.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

22.10.15 Классная работа

Найдите длину отрезка АВ а b А В b а В А АВ= a + b АВ= b + a

11 + 16 = 27 (фруктов) 16 + 11 = 27 (фруктов) Изменится ли общее количество фруктов от перестановки слагаемых? Маша собрала 11 яблок и 16 груш. Сколько фруктов оказалось в корзинке у Маши?

Составьте буквенное выражение для записи словесного высказывания: « от перестановки слагаемых сумма не изменится » а + b = b + a Переместительный закон сложения

(5 + 7) + 3 = 15 (игрушек) Какой способ подсчета проще? Маша наряжала елку. Она повесила 5 елочных шаров, 7 шишек и 3 звёздочки. Сколько всего игрушек повесила маша? (7 + 3) + 5 =15 (игрушек)

Составьте буквенное выражение для записи словесного высказывания: « Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых » (a + b)+с = a +(b+ с) Сочетательный закон сложения

Подсчитаем: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Учимся считать быстро!

Справедливы для умножения те же законы, что и для сложения? a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с)

b=15 а =12 c=2 V = (a · b) · c = a · (b · c) V = (12 · 15) · 2= =12 · (15 · 2)=360 S = a · b= b · a S = 12 · 15 = =15 · 12 =180

a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с) Переместительный закон умножения Сочетательный закон умножения

Подсчитаем: 25 · 756 · 4 = (25 · 4) · 756= 75600 8 · (956 · 125) = = (8 · 125) · 956 = = 1000 · 956 = 956000 Учимся считать быстро!

ТЕМА УРОКА: С чем сегодня на уроке работаем? Сформулируйте тему урока.

212 (1 столбик), 214(а,б,в), 231, 230 В классе Домашнее задание 212 (2 столбик), 214(г,д,е), 253

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по математике в 5 классе "Законы арифметических действий" включает в себя текстовый файл и презентацию к уроку.На этом уроке повторяется переместительный и сочетательный законы, вводи...

Законы арифметических действий

Данная презентация полготовлена к уроку по математике в 5 классе на тему "Законы арифметических действий" (учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович)....

Урок изучения нового материала с использованием ЭОР....

Законы арифметических действий

Презентация создана для визуального сопровождения урока в 5 классе по теме "Арифметические действия с целыми числами". В ней представлена подборка задач как для общего, так и для самостоятельного реше...

разработка урока Математика 5 класс Законы арифметических действий

разработка урока Математика 5 класс Законы арифметических действий№ п/пСтруктура аннотацииСодержание аннотации1231ФИО Малясова Людмила Геннадьевна2Должность, преподаваемый предмет Учитель ма...

18-19.10.2010 г.

Тема : «ЗАКОНЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ»

Цель: познакомить учащихся с законами арифметических действий.

Задачи урока:

раскрыть на конкретных примерах переместительный и сочетательный законы сложения и умножения учить их применять при упрощении выражений;

формировать умения упрощать выражения;

работать над развитием логического мышления и речи детей;

воспитывать самостоятельность, любознательность, интерес к предмету.

УУД: умение действовать со знаково-символическими символами,

умение выбирать основания, критерии для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов.

Оборудование: учебник, ТПО,презентация

Рис. 30 Рис. 31

Используя рисунок 30, объясните, почему справедливо равенство

а + b = b + а.

Это равенство выражает известное вам свойство сложения. Постарайтесь вспомнить какое.

Проверьте себя:

От перемены мест слагаемых сумма не меняется

Это свойство - переместительный закон сложения.

Какое равенство можно записать по рисунку 31? Какое свойство сложения выражает это равенство?

Проверьте себя.

Из рисунка 31 следует, что (а + b) + с = а + (b + с): если к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, то получится то же число, что и от прибавления к первому слагаемому суммы второго и третьего слагаемых.

Вместо (а + b) + с, так же как и| вместо а + (b + с), можно писать просто а + b + с.

Это свойство - сочетательный закон сложения.

В математике законы арифметических действий записывают как в| словесной форме, так и в виде равенств с использованием букв:

Объясните, как, используя законы сложения, можно упростить следующие вычисления, и выполните их:

212. а) 48 + 56 + 52; д) 25 + 65 + 75;

б) 34 + 17 + 83; е) 35 + 17 + 65 + 33;

в) 56 + 24 + 38 + 62; ж) 27 + 123 + 16 + 234;

г) 88 + 19 + 21 + 12; з) 156 + 79 + 21 + 44.

213. Используя рисунок 32, объясните, почему справедливо равенство ab = b а.

Вы догадались, какой закон иллюстрирует это равенство? Можно ли утверждать, что для

умножения справедливы те же законы, что и для сложения? Постарайтесь их сформулировать,

а затем проверьте себя:

Используя законы умножения, значения следующих выражений вычислите устно:

214. а) 76 · 5 · 2; в) 69 · 125 · 8; д) 8 · 941 · 125; В С

б) 465 · 25 · 4; г) 4 · 213 · 5 · 5; е) 2 · 5 · 126 ·4 · 25.

215. Найдите площадь прямоугольника ABCD (рис. 33) двумя способами.

216. Используя рисунок 34, объясните, почему справедливо равенство: а(b + с) = ab + ас.

Рис. 34 Какое свойство арифметических действий оно выражает?

Проверьте себя. Это равенство иллюстрирует следующее свойство: при умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Можно это свойство сформулировать и по-другому: сумму двух или нескольких произведений, содержащих одинаковый множитель, можно заменить произведением этого множителя на сумму остальных множителей.

Это свойство еще один закон арифметических действий - распределительный . Как видим, словесная формулировка этого закона очень громоздкая, и математический язык - это то средство, которое делает ее краткой и понятной:

Подумайте, как устно выполнить вычисления в заданиях № 217 – 220 и выполните их.

217. а) 15 · 13; б) 26 · 22; в) 34 · 12; г) 27 · 21.

218. а) 44 · 52; б) 16 · 42; в) 35 · 33; г) 36 · 26.

219. а) 43 · 16 + 43 · 84; д) 62 · 16 + 38 · 16;

б) 85 · 47 + 53 · 85; е) 85 · 44 + 44 · 15;

в) 54 · 60 + 460 · 6. ж) 240 · 710 + 7100 · 76;

г) 23 · 320 + 230 · 68; з) 38 · 5800 + 380 · 520.

220. а) 4 · 63 + 4 · 79 + 142 · 6; в) 17 · 27 + 23 · 17 + 50 · 19;

б) 7 · 125 + 3 · 62 + 63 · 3; г) 38 · 46 + 62 · 46 + 100 · 54.

221. Сделайте в тетради рисунок, подтверждающий равенство а ( b - с) = а b - ас

222. Вычислите устно, применив распределительный закон: а) 6 · 28; б) 18 · 21; в) 17 · 63; г) 19 · 98.

223. Вычислите устно: а) 34 · 84 – 24 · 84; в) 51· 78 – 51· 58;

б) 45 · 40 – 40 ·25; г) 63 · 7 – 7· 33

224 Вычислите: а) 560 · 188 – 880 · 56; в) 490 · 730 – 73 · 900;

б) 84 · 670 – 640 · 67; г) 36 · 3400 – 360 · 140.

Вычислите устно, используя известные вам приемы:

225. а) 13 · 5 + 71 · 5; в) 87 · 5 – 23 · 5; д) 43 · 25 + 25 · 17;

б) 58 · 5 – 36 · 5; г) 48 · 5 + 54 · 5; е) 25 · 67 – 39 · 25.

226. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) 258 · (764 + 548) и 258 · 764 + 258 · 545; в) 532 · (618 – 436) и 532 · 618 –532 · 436;

б) 751· (339 + 564) и 751· 340 + 751· 564; г) 496 · (862 – 715) и 496 · 860 – 496 · 715.

227. Заполните таблицу:

Надо ли было производить вычисления, чтобы заполнить вторую строчку?

228. Как изменится данное произведение, если множители изменить следующим образом:

229. Запишите, какие натуральные числа расположены на координатном луче:

а) левее числа 7; в) между числами 2895 и 2901;

б) между числами 128 и 132; г) правее числа 487, но левее числа 493.

230. Вставьте знаки действий, чтобы получилось верное равенство: а) 40 + 15 ? 17 = 72; в) 40 ? 15 ? 17 = 8;

б) 40 ? 15 ? 17 = 42; г) 120 ? 60 ? 60 = 0.

231 . В одной коробке носки голубые, а в другой - белые. Голубых носков на 20 пар больше, чем белых, а всего в двух коробках 84 лары носков. Сколько пар носков каждого цвета?

232 . В магазине имеется крупа трех видов: гречка, перловка и рис, всего 580 кг. Если бы продали 44 кг гречки, 18 кг перловки и 29 риса, то масса круп всех видов стала бы одинаковой. Сколько кил граммов крупы каждого вида имеется в магазине.