Найти частные производные онлайн с подробным решением. Частные производные для функции от нескольких переменных. Понятие функции многих переменных
Пусть задана функция двух переменных. Дадим аргументу приращение, а аргумент оставим неизменным. Тогда функция получит приращение, которое называется частным приращением по переменной и обозначается:
Аналогично, фиксируя аргумент и придавая аргументу прираще-ние, получим частное приращение функции по переменной:
Величина называется полным прира-щениием функции в точке.
Определение 4. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: или, или.
Таким образом, по определению имеем:
Частные производные функции вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной, считается постоянной, а при дифференцировании по переменной постоянной считается.
Пример 3. Найти частные производные функций:
Решение. а) Чтобы найти считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной:
Аналогично, считая постоянной величиной, находим:
Определение 5. Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.
Учитывая, что дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. , формулу полного дифференциала можно записать в виде
Пример 4. Найти полный дифференциал функции.
Решение. Так как, то по формуле полного дифференциала находим
Частные производные высших порядков
Частные производные и называют частными производными первого порядка или первыми частными производными.
Определение 6. Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.
Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные. Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство.
Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:
Дифференцируя и по переменным х и y, получим
Понятие функции многих переменных
Пусть имеется n-перем-х и каждому х 1 , х 2 … х n из нек-го множ-ва х поставлено в соответствие опред. число Z, тогда на множ-ве х задана ф-ция Z=f(х 1 , х 2 … х n) многих переменных.
Х – обл-ть опред-я ф-ции
х 1 , х 2 … х n – независ-е переем-е (аргументы)
Z – ф-ция Пример: Z=П х 2 1 *х 2 (Объем цилиндра)
Рассм-м Z=f(х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х 1 , х 2 замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.
Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.
Пример: х = х 0 , зн. пл-ть Х || 0уz у = у 0 0хz Вид ф-ции: Z=f(х 0 ,y); Z=f(x,у 0)
Например: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Парабола окруж-ть(центр(0;1)
Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х 0 ,y 0), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих |x-х 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z=f(х;у) непрерывна в т.(х 0 ,y 0), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х 0 и у к у 0 ; - этот предел = знач-ю ф-ции в т.(х 0 ,y 0), т.е. limf(х;у)=f(х 0 ,y 0) Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области Дифференциал ф-ции, его геом смысл. Применение диф-ла в приближенных значениях.
dy=f’(x)∆x – диф-л ф-ции dy=dx, т.е. dy=f ’(x)dx если у=х С геом точки зрения диф-л ф-ции – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке с абсциссой х 0 Диф-л применяют в вычислении приближ. значений ф-ции по формуле: f(х 0 +∆x)~f(х 0)+f’(х 0)∆x Чем ближе ∆x к х, тем результат точнее Частные производные первого и второго порядка
Производная первого порядка(которая называется частной) О. Пусть х, у – приращения независимых переменных х и у в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная z = f(x+ х, y+ у) = f(x,y) называется полным приращением в точке х 0, у 0. Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x,y,+ у) – f(x,y) Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е. Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной. Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х, у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const. Изолированные const соединены с функцией операциями сложения/вычитания. Связанные const соединены с функцией операциями умножения/деления. Производная изолированной const = 0 1.4.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
Пусть z = f(x,y), тогда tz = Частная производная 2-го порядка Для непрерывных функций 2-х переменных смешанные частные производные 2-го порядка и совпадают. Применение частных производных к определению частных производных max и min функций называются экстремумами. О. Точки называются max или min z = f(x,y), если существуют некоторые отрезки такие, что для всех x и y из этой окрестности f(x,y) Т. Если задана точка экстремума функции 2-х переменных, то значение частных производных в этой точке равны 0, т.е. , Точки , в которых частные производные первого порядка называются стационарными или критическими. Поэтому для нахождения точек экстремума функции 2-х переменных используются достаточные условия экстремума. Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка, 1) , причем maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Полный дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях
О. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности в точки . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке Где А – постоянная величина, не зависящая от , при фиксированной точке х, - бесконечно малая при . Линейная относительно функция А называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается df() или dy. Таким образом, выражение (1) можно записать в виде Дифференциал функции в выражении (1) имеет вид dy = A . Как и всякая линейная функция, он определен для любого значений Для удобства записи дифференциала приращение обозначают dx и называют его дифференциалом независимой переменной x. Поэтому дифференциал записывают в виде dy = Adx. Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных – точки x и переменной dx: Т. Для того, чтобы функция y = g(x) была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом (*)Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке , т.е. Поэтому производная f’() существует и равна А. Отсюда dy = f’()dx Достаточность. Пусть существует производная f’(), т.е. = f’(). Тогда
кривую y = f(x) отрезком касательной. Для вычисления значения функции в точке х берут в некоторой ее окрестности точку , такую, что не составляет труда найти f() и f’()/ Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые мы будем называть вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции. Так, например, функция двух переменных имеет четыре частных производных второго порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом: Функция трех переменных имеет девять частных производных второго порядка: Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка функции нескольких переменных: частной производной порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной порядка той же функции. Например, частная производная третьего порядка функции есть частная производная первого порядка по у от частной производной второго порядка Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной. Например, частные производные являются смешанными частными производными функции двух переменных . Пример. Найти смешанные частные производные второго порядка функции Решение. Находим частные производные первого порядка Затем находим смешанные частные производные второго порядка Мы видим, что смешанные частные производные и отличающиеся между собой лишь порядком дифференцирования, т. е. последовательностью, в которой производится дифференцирование по различным переменным, оказались тождественно равными. Этот результат не случаен. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства. Каждая частная производная (по x
и по y
) функции двух переменных представляет собой обыкновенную
производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной: (где y
= const), (где x
= const). Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной
, считая при этом другую переменную постоянной (константой). Если Вам не нужен разбор примеров и необходимого для этого минимума
теории, а нужно лишь решение Вашей задачи, то переходите к
калькулятору частных производных онлайн
. Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении
примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число - тогда можно будет быстрее вычислить
частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной. Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть
на место константу (переменную с фиксированном значением). Описанное выше свойство частных производных следует из определения частной производной, которое
может попасться в экзаменационных вопросах. Поэтому для ознакомления с определением ниже можно открыть
теоретическую справку. Понятие непрерывности функции z
= f
(x
, y
) в точке
определяется аналогично этому понятию для функции одной переменной. Функция z
= f
(x
, y
) называется непрерывной в точке
если Разность (2) называется полным приращением функции z
(оно получается в результате приращений обоих аргументов). Пусть заданы функция z
= f
(x
, y
) и точка Если изменение функции z
происходит при изменении только одного из аргументов, например, x
, при фиксированном значении другого аргумента y
, то функция получит приращение называемое частным приращением функции f
(x
, y
) по x
. Рассматривая изменение функции z
в зависимости от изменения только одного из аргументов, мы фактически переходим к функции одной переменной. Если существует конечный предел то он называется частной производной функции f
(x
, y
) по аргументу x
и обозначается одним из символов Аналогично определяются частное приращение z
по y
: и частная производная f
(x
, y
) по y
: Пример 1.
Решение. Находим частную производную по переменной "икс": Находим частную производную по переменной "игрек": (x
фиксировано). Как видно, не имеет значения, в какой степени переменная, которая фиксирована:
в данном случае это просто некоторое число, являющееся множителем (как в случае обычной производной) при переменной, по которой находим частную производную.
Если же фиксированная переменная не умножена на переменную, по которой находим частную производную, то эта одинокая
константа, безразлично, в какой степени, как и в случае обычной производной, обращается в нуль. Пример 2.
Дана функция Найти частные производные (по иксу)
и (по игреку) и вычислить их
значения в точке А
(1; 2). Решение. При фиксированном y
производная первого слагаемого находится как производная степенной функции
(таблица производных функций одной переменной
): При фиксированном x
производная первого слагаемого находится как производная показательной функции, а второго – как производная постоянной: Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А
(1; 2): Проверить решение задач с частными производными можно на
калькуляторе частных производных онлайн
. Пример 3.
Найти частные производные функции Решение. В один шаг находим (y
x
, как
если бы аргументом синуса было 5x
: точно так же 5 оказывается перед знаком функции); (x
фиксировано и является в данном случае множителем при y
). Проверить решение задач с частными производными можно на
калькуляторе частных производных онлайн
. Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных. Если каждому набору значений (x
; y
; ...; t
) независимых переменных из множества D
соответствует одно определённое значение u
из множества E
, то u
называют функцией переменных x
, y
, ..., t
и обозначают u
= f
(x
, y
, ..., t
). Для функций трёх и более переменных геометрической интерпретации не существует. Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы. Пример 4.
Найти частные производные функции Решение. y
и z
фиксированы: x
и z
фиксированы: x
и y
фиксированы: Пример 5.
Пример 6.
Найти частные производные функции
. Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной
, - это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов. Пример 8.
Количественная величина потока П
пассажиров железных дорог может быть выражена функцией где П
– количество пассажиров, N
– число жителей корреспондирующих пунктов, R
– расстоянии между пунктами. Частная производная функции П
по R
, равная показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах. Частная производная П
по N
, равная показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами. Проверить решение задач с частными производными можно на
калькуляторе частных производных онлайн
. Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так: Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством Пример 9.
Найти полный дифференциал функции Решение. Результат использования формулы (7): Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области. Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот. Сформулируем без доказательств достаточное условие дифференцируемости функции. Теорема.
Если функция z
= f
(x
, y
) имеет непрерывные частные производные в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой (7). Можно показать, что подобно тому, как в случае функции одной переменной дифференциал
функции является главной линейной частью приращения функции
, так и в случае функции нескольких переменных полный дифференциал является главной, линейной относительно приращений независимых переменных частью полного приращения функции. Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид где α и β – бесконечно малые при
и
. Частные производные
и
функции f
(x
, y
) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называются частными производными высших порядков. Общий принцип нахождения частных производных порядка второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных. Для того чтобы найти частные производные второго порядка, необходимо сначала найти частные производные первого порядка или, в другой записи: Частных производных второго порядка девять штук. Первая группа – это вторые производные по тем же переменным: Или – вторая производная по «икс»; Или – вторая производная по «игрек»; Или – вторая производная по «зет». Вторая группа – это смешанные
частные производные 2-го порядка, их шесть: Или – смешанная
производная «по икс игрек»; Или – смешанная
производная «по игрек икс»; Или – смешанная
производная «по икс зет»; Или – смешанная
производная «по зет икс»; Или – смешанная
производная «по игрек зет»; Или – смешанная
производная «по зет игрек». Как и для случая функции двух переменных, при решении задач можно ориентироваться на следующие равенства смешанных производных второго порядка: Примечание: строго говоря, это не всегда так. Для равенства смешанных производных необходимо выполнение требования их непрерывности.
На всякий случай несколько примеров, как правильно читать сиё безобразие вслух: – «у два штриха дважды по игрек»; – «дэ два у по дэ зет квадрат»; – «у два штриха по икс по зет»; – «дэ два у по дэ зет по дэ игрек». Пример 10
Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных: Решение:
Сначала найдем частные производные первого порядка: Берём найденную производную и дифференцируем её по «игрек»: Берём найденную производную и дифференцируем её по «икс»: Равенство выполнено. Хорошо. Разбираемся со второй парой смешанных производных. Берём найденную производную и дифференцируем её по «зет»: Берём найденную производную и дифференцируем её по «икс»: Равенство выполнено. Хорошо. Аналогично разбираемся с третьей парой смешанных производных: Равенство выполнено. Хорошо. После проделанных трудов гарантированно можно утверждать, что, во-первых, мы правильно нашли все частные производные 1-го порядка, во-вторых, правильно нашли и смешанные частные производные 2-го порядка. Осталось найти ещё три частные производные второго порядка, вот здесь уже во избежание ошибок следует максимально сконцентрировать внимание: Готово. Повторюсь, задание не столько сложное, сколько объемное. Решение можно сократить и сослаться на равенства смешанных частных производных, но в этом случае не будет проверки. Поэтому лучше потратить время и найти все
производные (к тому же это может потребовать преподаватель), или, в крайнем случае, выполнить проверку на черновике. Пример 11
Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных Это пример для самостоятельного решения. Решения и ответы:
Пример 2:
Решение:
Пример 4:
Решение:
Найдем частные производные первого порядка.
Составим полный дифференциал первого порядка:
Пример 6:
Решение:
M
(1, -1, 0):
Пример 7:
Решение:
Вычислим частные производные первого порядка в точке
M
(1, 1, 1):
Пример 9:
Решение:
Пример 11:
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
Найдем частные производные второго порядка:
Интегралы
8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
Начнем изучение темы «Неопределенный интеграл»
, а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем) интегралов. Как обычно, мы ограничимся минимумом теории, которая есть в многочисленных учебниках, наша задача – научиться решать интегралы. Что нужно знать для успешного освоения материала? Для того, чтобы справиться с интегральным исчислением, Вам необходимо уметь находить производные, минимум, на среднем уровне. Не лишним опытом будет, если у Вас за плечами несколько десятков, а лучше – сотня самостоятельно найденных производных. По крайне мере, Вас не должны ставить в тупик задания на дифференцирование простейших и наиболее распространенных функций. Казалось бы, причем здесь вообще производные, если речь в статье пойдет об интегралах?! А дело вот в чем. Дело в том, что нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия
, как, например, сложение/вычитание или умножение/деление. Таким образом, без навыка и какого-никакого опыта нахождения производных, к сожалению, дальше не продвинуться. В этой связи нам потребуются следующие методические материалы: Таблица производных
и Таблица интегралов
. В чем сложность изучения неопределенных интегралов? Если в производных имеют место строго 5 правил дифференцирования, таблица производных и довольно четкий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приемов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно (т.е. Вы не знаете, как решать), то интеграл можно «колоть» буквально сутками, как самый настоящий ребус, пытаясь приметить различные приемы и ухищрения. Некоторым даже нравится. Между прочим, нам довольно часто приходилось слышать от студентов (не гуманитарных специальностей) мнение вроде: «У меня никогда не было интереса решить предел или производную, но вот интегралы – совсем другое дело, это увлекательно, всегда есть желание «взломать» сложный интеграл». Стоп. Хватит чёрного юмора, переходим к этим самым неопределенным интегралам. Коль скоро способов решения существует много, то с чего же начать изучение неопределенных интегралов чайнику? В интегральном исчислении существуют, на наш взгляд, три столпа или своеобразная «ось», вокруг которой вращается всё остальное. В первую очередь следует хорошо разобраться в простейших интегралах (эта статья). Потом нужно детально проработать урок . ЭТО ВАЖНЕЙШИЙ ПРИЁМ! Может быть, даже самая важная статья из всех статей, посвященных интегралам. И, в-третьих, обязательно следует ознакомиться с методом интегрирования по частям
, поскольку с помощью него интегрируется обширный класс функций. Если Вы освоите хотя бы эти три урока, то уже «не два». Вам могут «простить» незнание интегралов от тригонометрических функций
, интегралов от дробей
, интегралов от дробно-рациональных функций
, интегралов от иррациональных функций (корней)
, но вот если «сесть в лужу» на методе замены или методе интегрирования по частям – то это будет очень и очень скверно. Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид: Сразу разбираемся в обозначениях и терминах: – значок интеграла. – подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»). – значок дифференциала. Что это такое, мы рассмотрим совсем скоро. Главное, что при записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет. – подынтегральное выражение или «начинка» интеграла. – первообразная
функция. – . Не нужно сильно загружаться терминами, здесь самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа . Решить неопределенный интеграл – это значит найти
множество первообразных функций
от данной подынтегральной функции Еще раз посмотрим на запись: Посмотрим в таблицу интегралов. Что происходит? Левые части у нас превращаются
в другие функции: . Упростим наше определение: Решить неопределенный интеграл– это значит ПРЕВРАТИТЬ его в неопределенную (с точностью до константы) функцию
, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.
Возьмем, например, табличный интеграл Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, или первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найденаправильно, справедливо следующее:
Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.
Вернемся к тому же табличному интегралу Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части: – это исходная подынтегральная функция. Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции всегда приписывается константа . При дифференцировании константа всегда превращается в ноль. Решить неопределенный интеграл
– это значит найти множество
всех
первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко: Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить. Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов. Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования: Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных. Иногда их называют свойствами линейности
интеграла. Пример 1
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Решение:
Удобнее преобразовать его, как. (1) Применяем правило (2) Согласно правилу Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде. Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.
Примечание:
в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду
, а степени переносить вверх.
Например,
– это готовый табличный интеграл, который уже посчитали до Вас, и всякие китайские хитрости вроде
совершенно не нужны. Аналогично:
– это тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде
. Внимательно изучите таблицу!
(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: для степенной функции - Следует отметить, что табличный интеграл – это частный случай формулы для степенной функции: Константу
C достаточно приплюсовать один раз в конце выражения
(а не ставить их после каждого интеграла
).
(4)Записываем полученный результат в более компактном виде, когда все степени вида снова представляем в виде корней, а степени с отрицательным показателем сбрасываем обратно в знаменатель. Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ: Получена исходная подынтегральная функция
, т. е. интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так. Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, когда от ответа берется не производная, а дифференциал: В итоге получаем не подынтегральную функцию, а подынтегральное выражение. Не стоит пугаться понятия дифференциал. Дифференциал – это производная, умноженная на dx
.
Однако нам важны не теоретические тонкости, а то, что с этим дифференциалом дальше делать. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок d
убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель dx
: Получено исходное подынтегральное выражение
, то есть интеграл найден правильно. Как видите, дифференциал сводится к нахождению производной. Второй способ проверки мне нравится меньше, так как приходиться дополнительно рисовать большие скобки и тащить значок дифференциала dx
до конца проверки. Хотя он корректнее, или «солиднее», что ли. На самом деле можно было умолчать о втором способе проверки. Дело не в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Еще раз. Дифференциал раскрывается следующим образом:
1) значок d
убираем; 2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной); 3) в конце выражения приписываем множитель dx
. Например: Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро. Пример 2
Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку
, тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике являются подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием. Пример 3
Найти неопределенный интеграл: Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас под интегралом произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет
хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного
в виде: Поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму? Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно. Сначала приведём полное решение, комментарии будут ниже. (1) Используем старую добрую формулу квадрата суммы для любых действительных чисел , избавляясь от степени над общей скобкой. за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: . Пример 4
Найти неопределенный интеграл Выполнить проверку. Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока. Пример 5
Найти неопределенный интеграл В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: «А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?». Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель: Действия с дробными степенями мы не комментируем, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции. Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как и ни в какую не получается правильный ответ , Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил Пример 6
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока. В общем случае с дробями в интегралах не всё так просто, дополнительный материал по интегрированию дробей некоторых видов можно найти в статье: Интегрирование некоторых дробей
. Но, прежде чем перейти к вышеуказанной статье, необходимо ознакомиться с уроком: Метод замены в неопределенном интеграле
. Дело в том, что подведение функции под дифференциал или метод замены переменной является ключевым моментом
в изучении темы, поскольку встречается не только «в чистых заданиях на метод замены», но и во многих других разновидностях интегралов. Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Пример 4: Решение:
В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения
Пример 6: Решение:
Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений
, где объяснено в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобраны базовые примеры для начинающих. Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами: – Подведение функции под знак дифференциала.
– Собственно замена переменной.
По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному. Начнем с более простого случая.
- называется полным приращением
, где представлено в виде (1)
().
в то время, как приращение функции необходимо рассматривать только для таких , для которых + принадлежит области определения функции f(x). . Тогда
(4)
(6)
(y
фиксировано);
.
.Найти частные производные самостоятельно, а затем посмотреть решения
Полный дифференциал
(7)
Найти полный дифференциал самостоятельно, а затем посмотреть решение
(8)Частные производные высших порядков
.
.
.
. Что произошло? Символическая запись превратилась в множество первообразных функций . совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны. .
– константу C
можно (и нужно) вынести за знак интеграла.
– интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) двух интегралов. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых.
. На забываем записать значок дифференциала dx
под каждым интегралом. Почему под каждым? dx
– это полноценный множитель.
Если расписывать детально, то первый шаг следует записать так:
. выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом tg
5 – это константа, её также выносим.
, и
.
.
.
.
. Выполнить проверку.
или 
.
. Выполнить проверку.
, . Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно.
