Определение функции ограниченной на множестве х. Свойства функций — Гипермаркет знаний. Производные высших порядков
Урок и презентация на тему: "Свойства функции. Возрастание и убывание функции"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное учебное пособие для 9 класса "Правила и упражнения по геометрии"
Электронное учебное пособие "Понятная геометрия" для 7-9 классов
Ребята, мы продолжаем изучать числовые функции. Сегодня мы остановимся на такой теме, как свойства функции. Функции обладают многими свойствами. Вспомните, какие свойства мы с вами совсем недавно изучили. Правильно, область определения и область значений, они являются одними из ключевых свойств. Никогда не забывайте про них и помните, что функция всегда обладает этими свойствами.
В этом разделе, мы с вами определим некоторые свойства функций. Порядок, в котором мы будем их определять, рекомендую соблюдать и при решении задач.
Возрастание и убывание функции
Первое свойство, которое мы определим, это возрастание и убывание функции.
Функция называется возрастающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.Функция называется убывающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции.
Понятия "возрастание" и "убывание" функции очень легко понять, если внимательно посмотреть на графики функции. Для возрастающей функции: мы как бы поднимаемся в горку, для убывающей соответственно - спускаемся. Общий вид возрастающих и убывающих функции представлен на графиках ниже.
Возрастание и убывание функции в общем случае называется монотонностью. То есть, наша задача -это найти промежутки убывания и возрастания функции. В общем случае это формулируется так: найти промежутки монотонности или исследовать функцию на монотонность.
Исследовать на монотонность функцию $y=3x+2$.
Решение: Проверим функцию для любых х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Поскольку, х1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Ограниченность функции
Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.
Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.
Если промежуток Х не указывается, то считают, что функция ограничена на всей области определения. Функция ограниченная и сверху, и снизу называется ограниченной.
Ограниченность функции легко читается по графику. Можно провести некоторую прямую
$у=а$, и если функция выше этой прямой, то ограниченность снизу. Если ниже, то соответственно сверху. Ниже представлен график ограниченной снизу функции. График ограниченной функции, ребята, попробуйте нарисовать сами.
Исследовать на ограниченность функцию $y=\sqrt{16-x^2}$.
Решение: Корень квадратный из некоторого числа больше либо равен нуля. Очевидно, что наша функция, также больше либо равна нуля, то есть ограниченна снизу.
Корень квадратный мы можем извлекать только из неотрицательного числа, тогда $16-x^2≥0$.
Решением нашего неравенства будет промежуток [-4;4]. На этом отрезке $16-x^2≤16$ или $\sqrt{16-x^2}≤4$, но это значит ограниченность сверху.
Ответ: наша функция ограниченна двумя прямыми $у=0$ и $у=4$.
Наибольшее и наименьшее значение
Наименьшим значение функции y= f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое, что:
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≥f(x0)$.
Наибольшим значение функции y=f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≤f(x0)$.
Наибольшее и наименьшее значение принято обозначать y наиб. и y наим. .
Понятия ограниченности и наибольшего с наименьшим значением функции тесно связаны. Выполняются следующие утверждения:
а) Если существует наименьшее значение у функции, то она ограничена снизу.
б) Если существует наибольшее значение у функции, то она ограничена сверху.
в) Если функция не ограничена сверху, то наибольшего значения не существует.
г) Если функция не ограничена снизу, то наименьшего значения не существует.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=\sqrt{9-4x^2+16x}$.
Решение: $f(x)=y=\sqrt{9-4x^2+16x}=\sqrt{9-(x-4)^2+16}=\sqrt{25-(x-4)^2}≤5$.
При $х=4$ $f(4)=5$, при всех остальных значениях функция принимает меньшие значения или не существует, то есть это наибольшее значение функции.
По определению: $9-4x^2+16x≥0$. Найдем корни квадратного трехчлена $(2х+1)(2х-9)≥0$. При $х=-0,5$ и $х=4,5$ функция обращается в ноль, во всех остальных точках она больше нуля. Тогда, по определению, наименьшее значению функции равно нулю.
Ответ: y наиб. =5 и y наим. =0.
Ребята мы с вами еще изучали понятия выпуклости функции. При решении некоторых задач, нам это свойство может понадобиться. Это свойство, также легко определяется с помощью графиков.
Функция выпукла вниз, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется ниже линии соединения точек.
Функция выпукла вверх, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется выше линии соединения точек.
Функция непрерывна, если график нашей функции не имеет разрывов, например, как график функции выше.
Если требуются найти свойства функции, то последовательность поиска свойств такова:
а) Область определения.
б) Монотонность.
в) Ограниченность.
г) Наибольшее и наименьшее значение.
д) Непрерывность.
е) Область значений.
Найти свойства функции $y=-2x+5$.
Решение.
а) Область определения D(y)=(-∞;+∞).
б) Монотонность. Проверим для любых значений х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Поскольку х1 < x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) Ограниченность. Очевидно, что функция не ограничена.
г) Наибольшее и наименьшее значение. Поскольку функция не ограничена, то наибольшего и наименьшего значений не существует.
д) Непрерывность. График нашей функции не имеет разрывов, тогда функция непрерывна.
е) Область значений. Е(у)=(-∞;+∞).
Задачи на свойства функции для самостоятельного решения
Найти свойства функции:а) $y=2x+7$,
б) $y=3x^2$,
в) $y=\frac{4}{x}$.
Понятие функции. Ограниченные функции.
Определение функции: Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана функция f и пишут y= f(x), где х - называется независимой переменной или аргументом этой функции, а множество D - область определения этой функции.
Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной , если существует такое положительное число M , что | f ( x ) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция -неограниченная .
П р и м е р ы.
Функции четные, нечетные, монотонные.
Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f (- x ) = f (x ), то функция называется чётной ; если же имеет место: f (- x ) = - f (x ), то функция называется нечётной . График чётной функции симетричен относительно оси Y (рис.5), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат (рис.6).
Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f ( x 2 ) > f ( x 1), то функция f ( x ) называется возрастающей ; если для любых x 1 и x 2 из условия x 2 > x 1 следует f ( x 2 ) < f ( x 1 ),то функция f ( x ) называется убывающей . Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной .
3. Числовые последовательности. Определение и примеры.
Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина , если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Для таких величин при i < j, i, j Î N , значение x i считается предшествующим, а x j – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами .
Например, числовую последовательность образуют следующие величины:
3. , где а, d – постоянные числа.
Предел числовой последовательности.
Число a называется пределом последовательности x = {x n }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n>N выполняется неравенство |x n - a| < ε.
Если число a есть предел последовательности x = {x n }, то говорят, что x n стремится к a , и пишут .
Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие. Окрестностью точки x 0 называется произвольный интервал (a, b ), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x 0 , для которой x 0 является серединой, тогда x 0 называется центром окрестности, а величина (b –a )/2 – радиусом окрестности.
Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).
Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {x n }, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a ) найдется такой элемент последовательности с номером N , что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.
Примеры.
1. Пусть переменная величина x последовательно принимает значения
Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N , что при всех n>N выполняется неравенство |x n - 1| < ε. Действительно, т.к.
то для выполнения соотношения |x n - a| < ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству , получим что нужно. Так если взять, например, , то, положив N= 6, для всех n >6 будем иметь .
2. Используя определение предела числовой последовательности, доказать что .
Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим Тогда , если или , т.е. . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству .
Примеры.
3. Рассмотрим . При x→1 числитель дроби стремится к 1, а знаменатель стремится к 0. Но так как , т.е. есть бесконечно малая функция при x→ 1, то
Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x) , удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x) . Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞ ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если
Теорема 5. Если при x→a (или x→∞ ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределуb , то этот предел не может быть отрицательным: b≥0 .
Доказательство . Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0 , тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a . Но тогда y не стремится к пределу b при x→a , что противоречит условию теоремы.
Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c .
Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0 , следовательно, по теореме 5 , или .
6. Раскрытие неопределенностей (0/0), ∞ -∞
I. Неопределенность .
При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x =1 является корнем многочлена x 3 – 6x 2 + 11x – 6, то при делении получим
7. Предел последовательности . Понятие о натуральном логарифме.
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Примеры:
Логарифм по основанию e (e - трансцендентное число, приближенно равное 2,718281828...) называется натуральным логарифмом . Натуральный логарифм числа x обозначается ln x . Натуральные логарифмы широко используются в математике, физике и инженерных расчетах.
Широко используются логарифмы по
основанию , называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом
Понятие предела функции.
Понятие непрерывности функции непосредственно связано с понятием предела функции.
Число A называется пределом функции f в точке a, предельной для множества E, если для любой окрестности V(A) точки A, существует такая проколотая окрестность точки a, что её образ при отображении f является подмножеством заданной окрестности V(A) точки A.
Предел функции f в точке a, предельной для множества E, обозначается так: или , если можно опустить упоминание множества E.
Поскольку каждой окрестности может быть сопоставлена своя правильная (симметричная) окрестность, то определение предела можно сформулировать на языке -δ в том виде, как это принято в математическом анализе:
Предел функции в точке f в точке a, предельной для множества E, непосредственно связан с пределом последовательности.
Будем рассматривать всевозможные последовательности точек множества E, имеющих своим пределом точку a, и соответствующие им последовательности значений функции в точках последовательности. Если предел функции функции f в точке a существует, то этот предел будет пределом каждой последовательности .
Верно и обратное: если все последовательности сходятся к одному и тому же значению, то функция имеет предел, равный данному значению.
ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Функция не определена при x =0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке.
Однако, можно найти предел этой функции при х →0.
Приведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.) Из рисунка видно, что
S ΔOAC .
Так как указанные площади соответственно равны
S Δ OAC =0,5∙OC ∙OA ∙sinα= 0,5sinα,S сект. OAC = 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α,S Δ OBC =0,5∙OC ∙BC= 0,5tgα.
Следовательно,
sin α < α < tg α.
Разделим все члены неравенства на sin α > 0: .
Но . Поэтому на основании теоремы 4 о пределах заключаем, что Выведенная формула и называется первым замечательным пределом.
Таким образом, первый замечательный предел служит для раскрытия неопределенности . Заметим, что полученную формулу не следует путать с пределами Примеры.
11.Предел и связанные с ним пределы.
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ
Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1 ∞ и выглядит следующим образом
Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу)
Примеры.
1. Функция f(x) =(x -1) 2 является бесконечно малой при x →1, так как (см. рис.).
2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x →0.
3. f(x) = ln (1+x )– бесконечно малая при x →0.
4. f(x) = 1/x – бесконечно малая при x →∞.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x) , где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Доказательство .
1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α| . Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|< ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .
2. Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α , то |α(x)|< ε, а это значит, что a – бесконечно малая.
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство . Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x) , где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε> 0 найдется δ> 0, такое, что для x , удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ , выполняется|f(x)|< ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε> 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ 1 > 0, что при |x – a|< δ 1 имеем |α(x)|< ε/ 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ 2 > 0, что при |x – a|< δ 2 имеем| β(x)|< ε/ 2.
Возьмем δ=min{ δ 1 , δ 2 } .Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/ 2 и | β(x)|< ε/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞ ) есть бесконечно малая функция.
Доказательство . Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a , то для произвольного ε> 0 найдется окрестность точки a , в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M . Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M = ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если и , то
Следствие 2. Если и c= const, то .
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x) , предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство . Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.
Примеры.
1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x 2 + 1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞ , т.е. .
Можно доказать и обратную теорему.
Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y= 1/f(x) является бесконечно большой функцией.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
Примеры.
3. , так как функции и - бесконечно малые при x→+∞ , то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.
Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0
13.Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые.
Бесконечно малые функции и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают . И, наконец, если не существует, то бесконечно малые функции и несравнимы.
ПРИМЕР 2. Сравнение бесконечно малых функций
Эквивалентные бесконечно малые функции.
Если , то бесконечно малые функции и называютсяэквивалентными , обозначают ~ .
Локально эквивалентные функции :
При если
Некоторые эквивалентности (при ):
Односторонние пределы.
До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x→a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a , слева или справа от a . Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x→a , оставаясь с одной стороны от а , слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a , то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.
Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→a слева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (меньшее a
Аналогично, если x→a и принимает значения большие a , то пишут и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→a справа , если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (большее а ), что для всех выполняется неравенство .
Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а .
Примеры.
1. Рассмотрим функцию y=f(x) , определенную на отрезке следующим образом
Найдем пределы функции f(x) при x→ 3. Очевидно, ,а
Другими словами, для любого сколь угодно малого числа эпсилон, существует такое число дельта, зависящее от эпсилон, что из того, что для любых иксов удовлетворяющих неравенству следует, что отличия значений функции в данных точках будет сколь угодно мало.
Критерий непрерывности функции в точке :
Функция будет непрерывна в точке A тогда и только тогда, когда она будет непрерывна в точке A и справа и слева, т.е чтобы в точке A существовали два односторонних предела, они были равны между собой и равнялись значению функции в точке A.
Определение 2 : Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.
Производная функции в точке
Пусть дана определена в окрестности . Рассмотрим
Если этот предел существует, то он называется производной функции f в точке .
Производная функции – предел отн6ошений приращения функции к приращению аргумента, при приращении аргумента .
Операция вычисления или нахождения производной в точке называется дифференцированием .
Правила дифференцирования.
Производной функции f(x) в точке х=х 0 называется отношение приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.Нахождение производной называется дифференцированием . Вычисление производной функции производится по общему правилу дифференцирования: Обозначим f(x) = u, g(x) = v - функции, дифференцируемые в точке х . Основные правила дифференцирования 1) (производная суммы равна сумме производных) 2) (отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу) 3) Производная частного: , если g 0 4) Производная сложной функции: 5) Если функция задана параметрически: , то
Примеры.
1. y = x a – степенная функция с произвольным показателем.
Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2 у -х+у=0).
Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у".
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
Пример:
Найти производную функции у, заданную уравнением х 3 +у 3 -3ху=0.
Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х 3 +у 3 -3ху=0. Из полученного соотношения
3х 2 +3у 2 · у"-3(1· у+х· у")=0
следует, что у 2 у"-ху"=у-х 2 , т. е. у"=(у-х 2)/(у 2 -х).
Производные высших порядков
Ясно, что производная
функции y =f (x) есть также функция от x :
y" =f " (x)
Если функция f " (x)
дифференцируема, то её производная обозначается символом y"" =f "" (x)
x
два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y""=f""(x)
, называется третьей производной функции y=f(x)
или производной функции f(x) третьего порядка
и обозначается символами
Вообще n -я производная или производная n -го порядка функции y=f(x) обозначается символами
Ф-ла Лейбница:
Предположим, что функции и дифференцируемы вместе со своими производными до n-го порядка включительно. Применяя правило дифференцирования произведения двух функций, получим
Сопоставим эти выражения со степенями бинома :
Бросается в глаза правило соответствия: чтобы получить формулу для производной 1-го, 2-го или 3-го порядков от произведения функций и , нужно заменить степени и в выражении для (где n = 1,2,3) производными соответствующих порядков. Кроме того, нулевые степени величин и следует заменить производными нулевого порядка, подразумевая под ними функции и :
Обобщая это правило на случай производной произвольного порядка n , получим формулу Лейбница ,
где - биномиальные коэффициенты:
Теорема Ролля.
Эта теорема позволяет отыскать критические точки, а затем с помощью достаточных условий исследовать ф-ю на экстремумы.
Пусть 1) ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором замкнутом промежутке ; 2) существует конечная производная, по крайней мере, в открытом промежутке (a;b); 3) на концах промежутка ф-я принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда между точками a и b найдется такая точка с, что производная в этой точке будет = 0.
По теореме о свойстве ф-ий, непрерывных на отрезке, ф-я f(x) принимает на этом отрезке свое max и min значение.
f(x 1) = M – max , f(x 2) = m – min ; x 1 ;x 2 Î
1) Пусть M = m, т.е. m £ f(x) £ M
Þ ф-я f(x) будет принимать на интервале от a до b постоянные значения, а Þ ее производная будет равна нулю. f’(x)=0
2) Пусть M>m
Т.к. по условиям теоремы f(a) = f(b) Þ свое наименьшее или наибольшее значение ф-я будет принимать не на концах отрезка, а Þ будет принимать M или m во внутренней точке этого отрезка. Тогда по теореме Ферма f’(c)=0.
Теорема Лагранжа.
Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a ;b ] и дифференцируема в интервале (a ;b ), то найдётся такая точка , что
Теорема Коши.
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что
Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке e. Примеры решения задач курс лекций Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Интегральное исчисление
Примеры выполнения курсовой работы Электротехника
Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
При x→x 0 величина с также стремится к х 0 ; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:
Так как , то .
Поэтому
(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)
Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.
Основные элементарные функции. Их свойства и графики
1. Линейная функция.
Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.
Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.
Свойства линейной функции
1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R
3. Функция принимает нулевое значение при или.
4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.
5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .
2. Квадратичная функция.
Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.
Коэффициенты а, b, с определяют расположение графика на координатной плоскости
Коэффициент а определяет направление ветвей. График квадратичной функции - парабола. Координаты вершины параболы находятся по формулам:
Свойства функции:
2. Множество значений одного из промежутков: или.
3. Функция принимает
нулевые значения при
,
где дискриминант вычисляется по формуле:.
4. Функция непрерывна на всей области определения и производная функции равна .
Обратите внимание: во всех определениях фигурирует числовое множество X, являющееся частью области определения функции: X с D(f). На практике чаще всего встречаются случаи, когда X - числовой промежуток (отрезок, интервал, луч и т.д.).
Определение 1.
Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве X с D(f), если для любых двух точек х 1 и х 2 множества X, таких, что х 1 < х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).
Определение 2.
Функцию у = f(х) называют убывающей на множестве X с D(f), если для любых монотонность двух точек х 1 и х 2 множества X, таких, что х 1 < х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) > f(x 2).
На практике удобнее пользоваться следующими формулировками: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
В 7-м и 8-м классах мы использовали следующее геометрическое истолкование понятий возрастания или убывания функции: двигаясь по графику возрастающей функции слева направо, мы как бы поднимаемся в горку (рис. 55); двигаясь по графику убывающей функции слева направо, как бы спускаемся с горки (рис. 56).
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция » объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.
Отметим еще одно обстоятельство: если функция возрастает (или убывает) в своей естественной области определения, то обычно говорят, что функция возрастающая (или убывающая) - без указания числового множества X.
Пример 1.
Исследовать на монотонность функцию:
а)
у = х 3 + 2; б) у = 5 - 2х.
Решение:
а) Возьмем произвольные значения аргумента х 1 и х 2 и пусть х 1 <х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:
Последнее неравенство означает, что f(х 1) < f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).
Итак, из х 1 < х 2 следует f(х 1) > f(х 2), а это означает, что заданная функция убывает (на всей числовой прямой).
Определение 3.
Функцию у - f(х) называют ограниченной снизу на множестве X с D (f), если все значения функции на множестве X больше некоторого числа (иными словами, если существует число m такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) >m).
Определение 4.
Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве X с D (f), если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число М такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) < М).
Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об ограниченности функции снизу или сверху во всей области определения.
Если функция ограничена и снизу, и сверху, то ее называют ограниченной.
Ограниченность функции легко прочитывается по ее графику : если функция ограничена снизу, то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = т (рис. 57); если функция ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = М (рис. 58).
Пример 2.
Исследовать на ограниченность функцию
Решение.
С одной стороны, вполне очевидно неравенство (по определению квадратного корня Это означает, что функция ограничена снизу. С другой стороны, имеем а потому
Это означает, что функция ограничена сверху. А теперь посмотрите на график заданной функции (рис. 52 из предыдущего параграфа). Ограниченность функции и сверху, и снизу прочитывается по графику достаточно легко.
Определение 5.
Число m называют наименьшим значением функции у = f(х) на множестве X С D(f), если:
1) в Х существует такая точка х 0 , что f(х 0) = m;
2) для всех x из X выполняется неравенство m>f(х 0).
Определение 6.
Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X С D(f), если:
1) в Х существует такая точка х 0 , что f(x 0) = М;
2) для всех x из X выполняется неравенство
Наименьшее значение функции мы обозначали и в 7-м, и в 8-м классах символом у, а наибольшее - символом у.
Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об отыскании наименьшего или наибольшего значения функции во всей области определения.
Достаточно очевидны следующие полезные утверждения:
1) Если у функции существует Y, то она ограничена снизу.
2) Если у функции существует Y, то она ограничена сверху.
3) Если функция не ограничена снизу, то Y не существует.
4) Если функция не ограничена сверху, то Y не существует.
Пример 3.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции
Решение.
Достаточно очевидно, особенно если прибегнуть к помощи графика функции (рис. 52), что = 0 (этого значения функция достигает в точках х = -3 и х = 3), а = 3 (этого значения функция достигает в точке х = 0.
В 7-м и 8-м классах мы упоминали еще два свойства функций. Первое назвали свойством выпуклости функции. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке X, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 59). непрерывность Функция выпукла вверх на промежутке X, если, функции соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 60).
Второе свойство - непрерывность функции на промежутке X - означает, что график функции на промежутке X - сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.
Замечание.
На самом деле в математике все обстоит, как говорится, «с точностью до наоборот»: график функции изображается в виде сплошной линии (без проколов и скачков) только тогда, когда доказана непрерывность функции. Но формальное определение непрерывности функции, достаточно сложное и тонкое, нам пока не по силам. То же самое можно сказать и о выпуклости функции. Обсуждая указанные два свойства функций, будем по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.
А теперь проведем смотр наших знаний. Вспомнив о тех функциях, которые мы с вами изучали в 7-м и 8-м классах, уточним, как выглядят их графики, и перечислим свойства функции, придерживаясь определенного порядка, например такого: область определения; монотонность; ограниченность; , ; непрерывность; область значений; выпуклость.
Впоследствии появятся новые свойства функций, соответственно будет меняться и перечень свойств.
1. Постоянная функция у = С
График функции у = С изображен на рис. 61 - прямая, параллельная оси х. Это настолько неинтересная функция, что нет смысла перечислять ее свойства.
Графиком функции у = кх + m является прямая (рис. 62, 63).
Свойства функции у = кх + m:
1) 
2) возрастает, если к > 0 (рис. 62), убывает, если к < 0 (рис. 63);
4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
5) функция непрерывна;
6) 
7) о выпуклости говорить не имеет смысла.
Графиком функции у = кх 2 является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если к > О (рис. 64), и вниз, если к < 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.
Свойства функции у - кх 2:
Для случая к> 0 (рис. 64):
1) D(f) = (-оо,+оо);
4) = не существует;
5) непрерывна;
6) Е(f) = функция убывает, а на промежутке , убывает на луче ;
7) выпукла вверх.
График функции у = f(х) строится по точкам; чем больше точек вида (х; f(х)) мы возьмем, тем более точное представление о графике получим. Если этих точек взять достаточно много, то и представление о графике сложится более полное. Именно в этом случае интуиция и подсказывает нам, что график надо изобразить в виде сплошной линии (в данном случае в виде параболы). А уж затем, читая график, мы делаем выводы о непрерывности функции, о ее выпуклости вниз или вверх, об области значений функции. Вы должны понимать, что из перечисленных семи свойств «законными» являются лишь свойства 1), 2), 3), 4) - «законными» в том смысле, что мы в состоянии обосновать их, ссылаясь на точные определения. Об остальных свойствах у нас имеются только наглядно-интуитивные представления. Кстати, в этом нет ничего плохого. Из истории развития математики известно, что человечество часто и долго пользовалось различными свойствами тех или иных объектов, не зная точных определений. Потом, когда такие определения удавалось сформулировать, все становилось на свои места. 
Графиком функции является гипербола, оси координат служат асимптотами гиперболы (рис. 66, 67).
1) D(f) = (-00,0)1U (0,+оо);
2) если к > 0, то функция убывает на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо) (рис. 66); если к < 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) не ограничена ни снизу, ни сверху;
4) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
5) функция непрерывна на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо);
6) Е(f) = (-оо,0) U (0,+оо);
7) если к > 0, то функция выпукла вверх при х < 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х > 0, т.е. на открытом луче (0, +оо) (рис. 66). Если к < 0, то функция выпукла вверх при х > О и выпукла вниз при х < О (рис. 67).
Графиком функции является ветвь параболы (рис. 68). Свойства функции :
1) D(f) = , возрастает на луче }
