Преобразование нескольких случайных величин. Вероятность и статистика – основные факты Правила линейных преобразований случайных величин

Задача установления закона распределения функции от случайных величин по заданному закону распределения аргументов является основной. Общая схема рассуждений здесь следующая. Пусть - закон распределения Тогда очевидно имеем где - полный прообраз полуинтервала, т.е. совокупность тех значений вектора £ из ЗГ, для которых. Последняя вероятность легко может быть найдена, так как закон распределения случайных величин £ известен Аналогично, в принципе, может быть найден закон распределения и векторной функции случайных аргументов. Сложность реализации схемы зависит только от конкретного вида функции (р и закона распределения аргументов. Настоящая глава посвящена реализации схемы в конкретных, важных для приложений, ситуациях. §1. Функции одного переменного Пусть £ - случайная величина, закон распределения которой задан функцией распределения F((x), rj = Если F4(y) функция распределения случайной величины rj, то приведенные выше соображения дают ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН где через у) обозначен полный прообраз полу- прямой (-оо, у). Соотношение (I) является очевидным следствием (*) и для рассматриваемого случая проиллюстрировано на рис. 1. Монотонное преобразование случайной величины Пусть (p(t) - непрерывная монотонная функция (для определенности - монотонно невозрастающая) и г) = - Для функции распределения Fn(y) получаем (здесь - функция, обратная к существование которой обеспечивается монотонностью и непрерывность. Для монотонно неубывающей) аналогичные выкладки дают В частности, если - линейна, то при а > О (рис. 2) Линейные преобразования не меняют характера распределения, а сказываются лишь на его параметрах. Линейное преобразование равномерной на [а, Ь] случайной величины Пусть Линейное преобразование нормальной случайной величины Пусть и вообще, если Пусть, например, 0. Из (4) заключаем, что Положим в последнем интеграле Эта замена дает Важное тождество, являющееся источником многих интересных приложений, может быть получено из соотношения (3) при Лемма. Если - случайная величина с непрерывной функцией распределения F^(x), то случайная величина г) = - равномерна на . Имеем - монотонно не убывает и заключена в пределах о Поэтому ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН На промежутке же получаем Одним из возможных путей использования доказанной леммы является, например, процедура моделирования случайной величины с произвольным законом распределения F((x). Как следует из леммы, для этого достаточно уметь получать значения равномерной на }