Показательная и логарифмическая функции комплексного переменного. Логарифм - свойства, формулы, график. Формула замены основания

Определение и свойства

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое texvc можно представить в показательной форме:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): z=r \cdot e^{i (\varphi + 2 \pi k)}\;\;, где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k - произвольное целое число

Тогда Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln}\,z находится по формуле :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Здесь Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln\,r= \ln\,|z| - вещественный логарифм. Отсюда вытекает:

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc . Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма . Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln\,z . Иногда через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln\, z также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): z - вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): -\infty.

Логарифм отрицательного числа находится по формуле :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots)

Примеры значений комплексного логарифма

Приведём главное значение логарифма (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln ) и общее его выражение (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln} ) для некоторых аргументов:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi - явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа - значение из нижележащей ветви (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k=-1 ). Причина ошибки - неосторожное использование свойства Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \log_a{(b^p)} = p~\log_a b , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc .

Аналитическое продолжение

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость . Пусть кривая Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): w кривой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Gamma можно определить по формуле :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u}

Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Gamma - простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости , кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 2\pi . Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (-\pi, \pi] . Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Gamma пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{d}{dz} \ln z = {1\over z}

Для любой окружности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): S , охватывающей точку Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 0 :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов .

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью рядов, известных для вещественного случая:

Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2}) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + i\sqrt{1-z^2}) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1}) - обратный гиперболический синус Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left(z+\sqrt{z^{2}-1} \right) - обратный гиперболический косинус Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right) - обратный гиперболический тангенс Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arcth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right) - обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли , однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма . Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \log(-x) = \log(x) , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной . Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

Напишите отзыв о статье "Комплексный логарифм"

Литература

Теория логарифмов

• Корн Г., Корн Т. . - М .: Наука, 1973. - 720 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. - М .: Наука, 1967. - 304 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - изд. 6-е. - М .: Наука, 1966. - 680 с.

История логарифмов

• Математика XVIII столетия // / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. - М .: Наука, 1972. - Т. III.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. - М .: Наука, 1981. - Т. II.

Примечания

1. Логарифмическая функция. // . - М .: Советская Энциклопедия , 1982. - Т. 3.
2. , Том II, стр. 520-522..
3. , с. 623..
4. , с. 92-94..
5. , с. 45-46, 99-100..
6. Болтянский В. Г. , Ефремович В. А. . - М .: Наука, 1982. - С. 112. - (Библиотечка Квант, выпуск 21).
7. , Том II, стр. 522-526..
8. , с. 624..
9. , с. 325-328..
10. Рыбников К. А. История математики. В двух томах. - М .: Изд. МГУ, 1963. - Т. II. - С. 27, 230-231..
11. , с. 122-123..
12. Клейн Ф. . - М .: Наука, 1987. - Т. II. Геометрия. - С. 159-161. - 416 с.

Отрывок, характеризующий Комплексный логарифм

От охватившего нас дикого ужаса мы пулями неслись по широкой долине, даже не подумав о том, что могли бы быстренько уйти на другой «этаж»... У нас просто не было времени об этом подумать – мы слишком сильно перепугались.
Тварь летела прямо над нами, громко щёлкая своим разинутым зубастым клювом, а мы мчались, насколько хватало сил, разбрызгивая в стороны мерзкие слизистые брызги, и мысленно моля, чтобы что-то другое вдруг заинтересовало эту жуткую «чудо-птицу»... Чувствовалось, что она намного быстрее и оторваться от неё у нас просто не было никаких шансов. Как на зло, поблизости не росло ни одно дерево, не было ни кустов, ни даже камней, за которыми можно было бы скрыться, только в дали виднелась зловещая чёрная скала.
– Туда! – показывая пальчиком на ту же скалу, закричала Стелла.
Но вдруг, неожиданно, прямо перед нами откуда-то появилось существо, от вида которого у нас буквально застыла в жилах кровь... Оно возникло как бы «прямо из воздуха» и было по-настоящему ужасающим... Огромную чёрную тушу сплошь покрывали длинные жёсткие волосы, делая его похожим на пузатого медведя, только этот «медведь» был ростом с трёхэтажный дом... Бугристая голова чудовища «венчалась» двумя огромными изогнутыми рогами, а жуткую пасть украшала пара невероятно длинных, острых как ножи клыков, только посмотрев на которые, с перепугу подкашивались ноги... И тут, несказанно нас удивив, монстр легко подпрыгнул вверх и....подцепил летящую «гадость» на один из своих огромных клыков... Мы ошарашено застыли.
– Бежим!!! – завизжала Стелла. – Бежим, пока он «занят»!..
И мы уже готовы были снова нестись без оглядки, как вдруг за нашими спинами прозвучал тоненький голосок:
– Девочки, постойте!!! Не надо убегать!.. Дин спас вас, он не враг!
Мы резко обернулись – сзади стояла крохотная, очень красивая черноглазая девочка... и спокойно гладила подошедшее к ней чудовище!.. У нас от удивления глаза полезли на лоб... Это было невероятно! Уж точно – это был день сюрпризов!.. Девочка, глядя на нас, приветливо улыбалась, совершенно не боясь рядом стоящего мохнатого чудища.
– Пожалуйста, не бойтесь его. Он очень добрый. Мы увидели, что за вами гналась Овара и решили помочь. Дин молодчина, успел вовремя. Правда, мой хороший?
«Хороший» заурчал, что прозвучало как лёгкое землетрясение и, нагнув голову, лизнул девочку в лицо.
– А кто такая Овара, и почему она на нас напала? – спросила я.
– Она нападает на всех, она – хищник. И очень опасна, – спокойно ответила девчушка. – А можно спросить, что вы здесь делаете? Вы ведь не отсюда, девочки?
– Нет, не отсюда. Мы просто гуляли. Но такой же вопрос к тебе – а, что ты здесь делаешь?
Я к маме хожу... – погрустнела малышка. – Мы умерли вместе, но почему-то она попала сюда. И вот теперь я живу здесь, но я ей этого не говорю, потому что она никогда с этим не согласится. Она думает, что я только прихожу...
– А не лучше ли и вправду только приходить? Здесь ведь так ужасно!.. – передёрнула плечиками Стелла.
– Я не могу её оставить здесь одну, я за ней смотрю, чтобы с ней ничего не случилось. И вот Дин со мной... Он мне помогает.
Я просто не могла этому поверить... Эта малюсенькая храбрая девчушка добровольно ушла со своего красивого и доброго «этажа», чтобы жить в этом холодном, ужасном и чужом мире, защищая свою, чем-то сильно «провинившуюся», мать! Не много, думаю, нашлось бы столь храбрых и самоотверженных (даже взрослых!) людей, которые решились бы на подобный подвиг... И я тут же подумала – может, она просто не понимала, на что собиралась себя обречь?!
– А как давно ты здесь, девочка, если не секрет?
– Недавно... – грустно ответила, теребя пальчиками чёрный локон своих кудрявых волос, черноглазая малышка. – Я попала в такой красивый мир, когда умерла!.. Он был таким добрым и светлым!.. А потом я увидела, что мамы со мной нет и кинулась её искать. Сначала было так страшно! Её почему-то нигде не было... И вот тогда я провалилась в этот ужасный мир... И тут её нашла. Мне было так жутко здесь... Так одиноко... Мама велела мне уходить, даже ругала. Но я не могу её оставить... Теперь у меня появился друг, мой добрый Дин, и я уже могу здесь как-то существовать.
Её «добрый друг» опять зарычал, от чего у нас со Стеллой поползли огромные «нижнеастральные» мурашки... Собравшись, я попыталась немного успокоиться, и начала присматриваться к этому мохнатому чуду... А он, сразу же почувствовав, что на него обратили внимание, жутко оскалил свою клыкастую пасть... Я отскочила.
– Ой, не бойтесь пожалуйста! Это он вам улыбается, – «успокоила» девчушка.
Да уж... От такой улыбки быстро бегать научишься... – про себя подумала я.
– А как же случилось, что ты с ним подружилась? – спросила Стелла.
– Когда я только сюда пришла, мне было очень страшно, особенно, когда нападали такие чудища, как на вас сегодня. И вот однажды, когда я уже чуть не погибла, Дин спас меня от целой кучи жутких летающих «птиц». Я его тоже испугалась вначале, но потом поняла, какое у него золотое сердце... Он самый лучший друг! У меня таких никогда не было, даже когда я жила на Земле.
– А как же ты к нему так быстро привыкла? У него внешность ведь не совсем, скажем так, привычная...
– А я поняла здесь одну очень простую истину, которую на Земле почему-то и не замечала – внешность не имеет значения, если у человека или существа доброе сердце... Моя мама была очень красивой, но временами и очень злой тоже. И тогда вся её красота куда-то пропадала... А Дин, хоть и страшный, но зато, всегда очень добрый, и всегда меня защищает, я чувствую его добро и не боюсь ничего. А к внешности можно привыкнуть...
– А ты знаешь, что ты будешь здесь очень долго, намного дольше, чем люди живут на Земле? Неужели ты хочешь здесь остаться?..
– Здесь моя мама, значит, я должна ей помочь. А когда она «уйдёт», чтобы снова жить на Земле – я тоже уйду... Туда, где добра побольше. В этом страшном мире и люди очень странные – как будто они и не живут вообще. Почему так? Вы что-то об этом знаете?
– А кто тебе сказал, что твоя мама уйдёт, чтобы снова жить? – заинтересовалась Стелла.
– Дин, конечно. Он многое знает, он ведь очень долго здесь живёт. А ещё он сказал, что когда мы (я и мама) снова будем жить, у нас семьи будут уже другие. И тогда у меня уже не будет этой мамы... Вот потому я и хочу с ней сейчас побыть.
– А как ты с ним говоришь, со своим Дином? – спросила Стелла. – И почему ты не желаешь нам сказать своё имя?
А ведь и правда – мы до сих пор не знали, как её зовут! И откуда она – тоже не знали...
– Меня звали Мария... Но разве здесь это имеет значение?
– Ну, конечно же! – рассмеялась Стелла. – А как же с тобой общаться? Вот когда уйдёшь – там тебе новое имя нарекут, а пока ты здесь, придётся жить со старым. А ты здесь с кем-то ещё говорила, девочка Мария? – по привычке перескакивая с темы на тему, спросила Стелла.
– Да, общалась... – неуверенно произнесла малышка. – Но они здесь такие странные. И такие несчастные... Почему они такие несчастные?
– А разве то, что ты здесь видишь, располагает к счастью? – удивилась её вопросу я. – Даже сама здешняя «реальность», заранее убивает любые надежды!.. Как же здесь можно быть счастливым?
– Не знаю. Когда я с мамой, мне кажется, я и здесь могла бы быть счастливой... Правда, здесь очень страшно, и ей здесь очень не нравится... Когда я сказала, что согласна с ней остаться, она на меня сильно накричала и сказала, что я её «безмозглое несчастье»... Но я не обижаюсь... Я знаю, что ей просто страшно. Так же, как и мне...
– Возможно, она просто хотела тебя уберечь от твоего «экстремального» решения, и хотела, только лишь, чтобы ты пошла обратно на свой «этаж»? – осторожно, чтобы не обидеть, спросила Стелла.
– Нет, конечно же... Но спасибо вам за хорошие слова. Мама часто называла меня не совсем хорошими именами, даже на Земле... Но я знаю, что это не со злости. Она просто была несчастной оттого, что я родилась, и часто мне говорила, что я разрушила ей жизнь. Но это ведь не была моя вина, правда же? Я всегда старалась сделать её счастливой, но почему-то мне это не очень-то удавалось... А папы у меня никогда не было. – Мария была очень печальной, и голосок у неё дрожал, как будто она вот-вот заплачет.
Мы со Стеллой переглянулись, и я была почти уверенна, что её посетили схожие мысли... Мне уже сейчас очень не нравилась эта избалованная, эгоистичная «мама», которая вместо того, чтобы самой беспокоиться о своём ребёнке, его же героическую жертву совершенно не понимала и, в придачу, ещё больно обижала.
– А вот Дин говорит, что я хорошая, и что я делаю его очень счастливым! – уже веселее пролепетала малышка. – И он хочет со мной дружить. А другие, кого я здесь встречала, очень холодные и безразличные, а иногда даже и злые... Особенно те, у кого монстры прицеплены...
– Монстры – что?.. – не поняли мы.
– Ну, у них страшенные чудища на спинах сидят, и говорят им, что они должны делать. А если те не слушают – чудища над ними страшно издеваются... Я попробовала поговорить с ними, но эти монстры не разрешают.
Мы абсолютно ничего из этого «объяснения» не поняли, но сам факт, что какие-то астральные существа истязают людей, не мог остаться нами не «исследованным», поэтому, мы тут же её спросили, как мы можем это удивительное явление увидеть.
– О, да везде! Особенно у «чёрной горы». Во-он там, за деревьями. Хотите, мы тоже с вами пойдём?
– Конечно, мы только рады будем! – сразу же ответила обрадованная Стелла.
Мне тоже, если честно, не очень-то улыбалась перспектива встречаться с кем-то ещё, «жутким и непонятным», особенно в одиночку. Но интерес перебарывал страх, и мы, конечно же, пошли бы, несмотря на то, что немного побаивались... Но когда с нами шёл такой защитник как Дин – сразу же становилось веселее...
И вот, через короткое мгновение, перед нашими широко распахнутыми от изумления глазами развернулся настоящий Ад... Видение напоминало картины Боша (или Боска, в зависимости от того, на каком языке переводить), «сумасшедшего» художника, который потряс однажды своим искусством весь мир... Сумасшедшим он, конечно же, не был, а являлся просто видящим, который почему-то мог видеть только нижний Астрал. Но надо отдать ему должное – изображал он его великолепно... Я видела его картины в книге, которая была в библиотеке моего папы, и до сих пор помнила то жуткое ощущение, которое несли в себе большинство из его картин...
– Ужас какой!.. – прошептала потрясённая Стелла.
Можно, наверное, было бы сказать, что мы видели здесь, на «этажах», уже многое... Но такого даже мы не в состоянии были вообразить в самом жутком нашем кошмаре!.. За «чёрной скалой» открылось что-то совершенно немыслимое... Это было похоже на огромный, выбитый в скале, плоский «котёл», на дне которого пузырилась багровая «лава»... Раскалённый воздух «лопался» повсюду странными вспыхивающими красноватыми пузырями, из которых вырывался обжигающий пар и крупными каплями падал на землю, или на попавших в тот момент под него людей... Раздавались душераздирающие крики, но тут же смолкали, так как на спинах тех же людей восседали омерзительнейшие твари, которые с довольным видом «управляли» своими жертвами, не обращая ни малейшего внимания на их страдания... Под обнажёнными ступнями людей краснели раскалённые камни, пузырилась и «плавилась» пышущая жаром багровая земля... Сквозь огромные трещины прорывались выплески горячего пара и, обжигая ступни рыдающим от боли людским сущностям, уносились в высь, испаряясь лёгким дымком... А по самой середине «котлована» протекала ярко красная, широкая огненная река, в которую, время от времени, те же омерзительные монстры неожиданно швыряли ту или иную измученную сущность, которая, падая, вызывала лишь короткий всплеск оранжевых искр, и тут же, превратившись на мгновение в пушистое белое облачко, исчезала... уже навсегда... Это был настоящий Ад, и нам со Стеллой захотелось как можно скорее оттуда «исчезнуть»...
– Что будем делать?.. – в тихом ужасе прошептала Стелла. – Ты хочешь туда спускаться? Разве мы чем-то можем им помочь? Посмотри, как их много!..
Мы стояли на чёрно-буром, высушенном жаром обрыве, наблюдая простиравшееся внизу, залитое ужасом «месиво» боли, безысходности, и насилия, и чувствовали себя настолько по-детски бессильными, что даже моя воинственная Стелла на этот раз безапелляционно сложила свои взъерошенные «крылышки» и готова была по первому же зову умчаться на свой, такой родной и надёжный, верхний «этаж»...

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию , например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0 , непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

Свойства

Натуральные логарифмы

При справедливо равенство

(1)

В частности,

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

Связь с десятичным логарифмом: .

Десятичные логарифмы

Рис. 2. Логарифмическая шкала

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки . Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:

• Химия - активность водородных ионов ().
• Теория музыки - нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Комплексный логарифм

Многозначная функция

Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция - пример римановой поверхности ; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна ; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1 , особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0 .

Исторический очерк

Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra » Михаэль Штифель , который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку , до появления карманных калькуляторов - незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень - впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли , а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» () Эйлер дал современные определения как показательной , так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Комплексный логарифм

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли , однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x) . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), однако точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование , то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n . Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже - с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега () появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого . В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.

• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.

План:

Введение

• 1 Вещественный логарифм
  • 1.1 Свойства
  • 1.2 Логарифмическая функция
  • 1.3 Натуральные логарифмы
  • 1.4 Десятичные логарифмы
• 2 Комплексный логарифм
  • 2.1 Определение и свойства
  • 2.2 Примеры
  • 2.3 Аналитическое продолжение
  • 2.4 Риманова поверхность
• 3 Исторический очерк
  • 3.1 Вещественный логарифм
  • 3.2 Комплексный логарифм
• 4 Логарифмические таблицы
• 5 Приложения
Литература
Примечания

Введение

Рис. 1. Графики логарифмических функций

Логари́фм числа b по основанию a (от греч. λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число» ) определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a , чтобы получить число b . Обозначение: . Из определения следует, что записи и равносильны.

Например, , потому что .

1. Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при . Как известно, показательная функция y = a x монотонна и каждое значение принимает только один раз, причём диапазон её значений содержит все положительные вещественные числа. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа вcегда существует и определено однозначно.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

1.1. Свойства

Доказательство

Докажем, что .

(так как по условию bc > 0). ■

Доказательство

Докажем, что

(так как по условию ■

Доказательство

Используем для доказательства тождество . Логарифмируем обе части тождества по основанию c. Получаем:

Доказательство

Докажем, что .

(так как b p > 0 по условию). ■

Доказательство

Докажем, что

Доказательство

Логарифмируем левую и правую части по основанию c :

Левая часть: Правая часть:

Равенство выражений очевидно. Т. к. логарифмы равны, то в силу монотонности логарифмической функции равны и сами выражения. ■

1.2. Логарифмическая функция

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию y = log a x (см. рис. 1). Она определена при . Область значений: .

Функция является строго возрастающей при a > 1 и строго убывающей при 0 < a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Прямая x = 0 является левой вертикальной асимптотой, поскольку при a > 1 и при 0 < a < 1 .

Производная логарифмической функции равна:

Доказательство

I. Докажем, что

Запишем тождество e lnx = x и продифференцируем его левую и правую части

Получаем, что , откуда следует, что

II. Докажем, что

Логарифмическая функция осуществляет изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел.

1.3. Натуральные логарифмы

Связь с десятичным логарифмом: .

Как указано выше, для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

Неопределенный интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

Разложение в ряд Тейлора может быть представлено следующим образом:
при справедливо равенство

(1)

В частности,

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

1.4. Десятичные логарифмы

Рис. 2а. Логарифмическая шкала

Рис. 2б. Логарифмическая шкала с обозначениями

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала используется во многих областях науки, например:

• Физика - интенсивность звука (децибелы).
• Астрономия - шкала яркости звёзд.
• Химия - активность водородных ионов (pH).
• Сейсмология - шкала Рихтера.
• Теория музыки - нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
• История - логарифмическая шкала времени.

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

2. Комплексный логарифм

2.1. Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначим и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что e z = w . Комплексный логарифм существует для любого , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

,

то логарифм находится по формуле:

Здесь - вещественный логарифм, r = | w | , k - произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0 , называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента в интервале (− π,π] . Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается . Иногда через также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.

Из формулы следует:

• Вещественная часть логарифма определяется по формуле:

• Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями. Пример такой связи:

2.2. Примеры

Приведём главное значение логарифма для некоторых аргументов:

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

i π = ln(− 1) = ln((− i ) 2) = 2ln(− i ) = 2(− i π / 2) = − i π - явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа - значение из нижележащей ветви (k = − 1 ). Причина ошибки - неосторожное использования свойства , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

2.3. Аналитическое продолжение

Рис. 3. Комплексный логарифм (мнимая часть)

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая Γ начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке w кривой Γ можно определить по формуле:

Если Γ - простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например

Если разрешить кривой Γ пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма

Для любой окружности S , охватывающей точку 0 :

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведенного ряда (1), обобщённого на случай комплексного аргумента. Однако из вида разложения следует, что в единице он равен нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма.

2.4. Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция - пример римановой поверхности; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность односвязна; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1 , особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0 .

3. Исторический очерк

3.1. Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n . Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra » Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов » (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1". Термин логарифм , предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов » (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), изданной посмертно в 1619 году его сыном.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом :

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением: dx/x = -dy/M , где M - масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10000000.

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом следующим образом:

Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль - этого и добивался Непер своим определением. .

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1) .

К сожалению, все значения таблицы Непера содержали вычислительную ошибку после шестого знака. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики, включая Кеплера. Уже спустя 5 лет, в 1619 г., лондонский учитель математики Джон Спайделл (John Speidell ) переиздал таблицы Непера, преобразованные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов (хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил). Термин «натуральный логарифм» предложил итальянский математик Пьетро Менголи (Pietro Mengoli )) в середине XVI века .

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов - незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень - впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

3.2. Комплексный логарифм

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x) . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

4. Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n . Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже - с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.

• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.

Таблицы Брадиса (1921) использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.

• Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М., 1971.

Профессиональный сборник для точных вычислений.

• Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6 изд., М.: Наука, 1972.
• Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.

В настоящее время с распространением калькуляторов необходимость в использовании таблиц логарифмов отпала.

М, Особенность (комплексный анализ) .

Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Содержание

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

Область определения	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Область значений	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	x = 1	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	нет	нет
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом :

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b , имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .

Если , то

Если , то

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e .
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям : .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ :
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

См. также:

Показательная функция вещественной переменной (при положительном основании) определяется в несколько приемов. Сперва, для натуральных значений - как произведение равных сомножителей. Затем определение распространяется на целые отрицательные и ненулевое значения для по правилам . Далее рассматриваются дробные показатели, при которых значение показательной функции определяется при помощи корней: . Для иррациональных значений определение связано уже с основным понятием математического анализа - с предельным переходом, из соображений непрерывности. Все эти соображения никак не применимы к попыткам распространить показательную функцию на комплексные значения показателя, и что такое, например, - совершенно непонятно.

Впервые степень с комплексным показателем при натуральном основании была введена Эйлером на основе анализа ряда построений интегрального исчисления. Иногда очень похожие алгебраические выражения при интегрировании дают совершенно разные ответы:

В то же время здесь второй интеграл формально получается из первого при замене на

Отсюда можно сделать заключение, что при надлежащем определении показательной функции с комплексным показателем обратные тригонометрические функции родственны логарифмам и тем самым показательная функция связана с тригонометрическими.

У Эйлера хватило смелости и фантазии дать разумное определение для показательной функции с основанием , именно,

Это определение, и потому данная формула не доказывается, можно лишь искать доводы в пользу разумности и целесообразности такого определения. Математический анализ доставляет очень много доводов этого рода. Мы ограничимся лишь одним.

Известно, что при вещественном имеет место предельное соотношение: . В правой части находится многочлен, имеющий смысл и при комплексных значениях для . Предел последовательности комплексных чисел определяется естественным образом. Последовательность считается сходящейся, если сходятся последовательности вещественных и мнимых частей и принимается

Найдем . Для этого обратимся к тригонометрической форме причем для аргумента будем выбирать значения из промежутка . При таком выборе ясно, что ибо . Далее,

Для предельного перехода нужно убедиться в существовании пределов для и и найти эти пределы. Ясно, что и

Итак, в выражении

вещественная часть стремится к , мнимая - к так что

Это несложное рассуждение дает один из доводов в пользу определения Эйлера показательной функции.

Установим теперь, что при умножении значений показательной функции показатели складываются. Действительно:

2. Формулы Эйлера.

Положим в определении показательной функции . Получим:

Заменив b на -b, получим

Складывая и вычитая почленно эти равенства, найдем формулы

носящие название формул Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной с мнимыми показателями.

3. Натуральный логарифм комплексного числа.

Комплексное число, заданное в тригонометрической форме можно записать в форме Эта форма записи комплексного числа называется показательной. Она сохраняет все хорошие свойства тригонометрической формы, но еще более краткая. Далее, Поэтому естественно считать, что так что вещественной частью логарифма комплексного числа оказывается логарифм его модуля, мнимой частью - его аргумент. Это в некоторой степени объясняет «логарифмическое» свойство аргумента - аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.